Решение

Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома:
$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu$$
$$mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c}$$
Аналогично запишем для испускания в противоположное направление:
$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu'$$
$$mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c}$$
Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$:
$$\Delta v = \frac{h\nu}{mc}$$
$$\Delta v' = \frac{h\nu'}{mc}$$
Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим:
$$\varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c})$$
$$\varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c})$$
И получим окончательный ответ:
$$\nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu$$
Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая:
$$\frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu''$$
$$(mv)^2 = (mv_1)^2 - (\frac{h\nu''}{c})^2$$
Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим:
$$\varepsilon = h\nu''(1 + \frac{h\nu''}{2mc^2})$$
Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то:
$$\varepsilon = h\nu''$$
Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим:
$$\nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c})$$