Edit to “Решение”
ru/13.5.6.md
+4 −2
| ### Условие | |||
| $13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего | |||
| движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном | |||
| направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома | |||
| ### Решение | |||
| Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома: | |||
| $$ | |||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c} | |||
| $$ | |||
| Аналогично запишем для испускания в противоположное направление: | |||
| $$ | |||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu' | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c} | |||
| $$ | |||
| Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$: | |||
| $$ | |||
| \Delta v = \frac{h\nu}{mc} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \Delta v' = \frac{h\nu'}{mc} | |||
| $$ | |||
| Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим: | |||
| $$ | |||
| \varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c}) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c}) | |||
| $$ | |||
| И получим окончательный ответ: | |||
| $$ | |||
| \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | |||
| $$ | |||
| Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая: | |||
| $$ | |||
| @@ -42,11 +42,11 @@Решение | |||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu'' | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | (mv)^2 = (mv_1)^2 | ||
| + | (mv)^2 = (mv_1)^2 + (\frac{h\nu''}{c})^2 | ||
| $$ | |||
| Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим: | |||
| $$ | |||
| − | \varepsilon = h\nu''(1 | ||
| + | \varepsilon = h\nu''(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2}) | ||
| $$ | |||
| Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то: | |||
| $$ | |||
| \varepsilon = h\nu'' | |||
| $$ | |||
| Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим: | |||
| @@ -56,6 +56,8 @@Решение | |||
| $$ | |||
| \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | |||
| $$ | |||
| + | |||
| + | Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :) | ||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 4 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего | $13.5.6.^*$ Атомы, летящие со скоростью $v$, испускают в направлении своего | ||
| движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном | движения фотоны с частотой $ν$. Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном | ||
| направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома | направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома: | Запишем законы сохранения энергии и импульса при испускании фотона по направлению движения атома: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu | \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v-\Delta v)^2}{2} + h\nu | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c} | mv = m(v-\Delta v) + \frac{h\nu}{c} | ||
| $$ | $$ | ||
| Аналогично запишем для испускания в противоположное направление: | Аналогично запишем для испускания в противоположное направление: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu' | \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{m(v+\Delta v')^2}{2} + h\nu' | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c} | mv = m(v+\Delta v') - \frac{h\nu'}{c} | ||
| $$ | $$ | ||
| Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$: | Из уравнений ждя импульсов найдём $\Delta v$ и $\Delta v'$: | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta v = \frac{h\nu}{mc} | \Delta v = \frac{h\nu}{mc} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta v' = \frac{h\nu'}{mc} | \Delta v' = \frac{h\nu'}{mc} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим: | Подставим $\Delta v$ и $\Delta v'$ в уравнения для энергий, помня, что импульс фотона много меньше импульса атома. Получим: | ||
| $$ | $$ | ||
| \varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c}) | \varepsilon = h\nu(1 - \frac{v}{c}) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c}) | \varepsilon = h\nu'(1 + \frac{v}{c}) | ||
| $$ | $$ | ||
| И получим окончательный ответ: | И получим окончательный ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | ||
| $$ | $$ | ||
| Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая: | Теперь найдём для случая испускания фотона перпендикулярно движению атома. Запишем законы сохранения энергии и импульса для этого случая: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -42,11 +42,11 @@Решение | |||
| \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu'' | \frac{mv^2}{2}+\varepsilon = \frac{mv_1^2}{2} + h\nu'' | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| (mv)^2 = (mv_1)^2 |
(mv)^2 = (mv_1)^2 + (\frac{h\nu''}{c})^2 | ||
| $$ | $$ | ||
| Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим: | Выразя из уравнения для импульса $v_1$, получим: | ||
| $$ | $$ | ||
| \varepsilon = h\nu''(1 |
\varepsilon = h\nu''(1 - \frac{h\nu''}{2mc^2}) | ||
| $$ | $$ | ||
| Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то: | Так как импульс фотона пренебрежимо мал, то: | ||
| $$ | $$ | ||
| \varepsilon = h\nu'' | \varepsilon = h\nu'' | ||
| $$ | $$ | ||
| Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим: | Теперь сравним изменение внутренней энергии атома из первого и третьего случаев. Получим: | ||
| @@ -56,6 +56,8 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | ||
| $$ | $$ | ||
| Необходимо отметить, что данное решение сделано с точки зрения классическое механики, хотя строго её надо решать с позиций релятивиской механики. Но ответ, приведенный здесь, совпадёт с релятивиским. :) | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | \nu' = \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}\nu | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | \nu'' = \nu(1 - \frac{v}{c}) | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 4 | |||