Решение

Заряд на пластинах Q остаётся постоянным в разных системах отсчёта, так как заряд является инвариантом в релятивистской теории, то есть $Q=CU\Longleftrightarrow Inv$

Обозначим лоренцевский фактор: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\upsilon}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\beta c}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$

а) При движении вдоль пластин релятивистские эффекты проявляются следующим образом:

$\rightarrow$ расстояние между пластинами $d$ не изменяется, так как сокращение длины действует только вдоль направления движения.

$\rightarrow$ площадь пластин уменьшается: $\mathrm{S}^{'}=\frac{S}{\gamma}$, поскольку длина одной из сторон пластин сокращается.

$\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}^{'}}{d}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\frac{S}{\gamma}}{d}=\frac{C}{\gamma}$

Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна увеличиться в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\gamma U=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} U$. Таким образом, разность потенциалов увеличится в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз.

б) При движении перпендикулярно пластинам релятивистские эффекты проявляются следующим образом:

$\rightarrow$ расстояние между пластинами сокращается: $\mathrm{d}^{'}=\frac{d}{\gamma}$

$\rightarrow$ Площадь пластин остается неизменной: $\mathrm{S}^{'}=S$

$\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}}{\mathrm{d}^{'}}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}S}{\frac{d}{\gamma}}=\gamma C$

Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна уменьшится в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\frac{U}{\gamma}$. Таким образом, разность потенциалов уменьшается в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз.