Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #13647 parent #13646 ← older
ru/2.3.24.md +55 −3
@@ -1,11 +1,63 @@
### Условие
−$2.3.24.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.3.24.$ Шарику маятника массы $m$ сообщили минимальную скорость, при которой он еще может описывать окружность в вертикальной плоскости. Какая сила действует на ось при прохождении маятником положения равновесия? Рассмотрите случаи подвеса шарика на легком стержне и на нити.
### Решение
−арап
+В начале определим принципиальное отличие нити от легкого стержня. Если мы шарик на нити переведём в вертикальное положение над точкой подвеса, то он под действием силы тяжести начнёт двигаться вниз (падать). А в случае со стержнем, если провести ту же манипуляцию, то шарик в верхней точке будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия, но падать не будет. Отсюда можно вывести критерий преодоления шариком верхней точки траектории.
+Для шарика на нити в верхней точке потребуется некая минимальная скорость, при которой он сможет описать круговую траекторию. Минимальность скорости будет обеспечивать тот факт, что сила натяжения нити $T$ станет равной 0 и шарик будет двигаться только под действием силы тяжести и центростремительной силы.
+
+Для шарика на стержне такой минимальной скорости не требуется. Его скорость по прибытию в верхнюю точку будет практически равна 0 и он по инерции продолжит свой путь.
+
+Теперь детально рассмотрим каждый случай с учётом наших критериев.
+
+$\textbf{Для шарика на нити}$ в верхней точке траектории запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
+
+$$mg=\frac{m\upsilon_{верх}^{2}}{R}$$
+
+откуда
+
+$$\upsilon_{верх}=\sqrt{gR}$$
+
+По закону сохранения энергии:
+
+$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=\frac{1}{2}m\upsilon_{верх}^{2} + mg2R$$
+
+Подставляем $\upsilon_{верх}$
+
+$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=\frac{1}{2}mgR + 2mgR=\frac{5}{2}mgR$$
+$$\upsilon_{низ}=\sqrt{5gR}$$
+
+Запишим для нижней точки траектории шарика закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
+
+$$T-mg=\frac{m\upsilon_{низ}^{2}}{R}$$
+
+Подставляем $\upsilon_{низ}$:
+
+$$T-mg=\frac{m5gR}{R}=5mg$$
+$$T=6mg$$
+
+Это сила, с которой нить действует на шарик. По третьему закону Ньютона, ось, к которой прикреплена нить, испытывает такую же силу $6mg$, направленную вверх. Итак, для нити искомая сила: $F=6mg$.
+
+$\textbf{Для шарика на стержне}$ запишем закон сохранения энергии для нижнего и верхнего положения:
+
+$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=mg2R$$
+$$\upsilon_{низ}=\sqrt{4gR}$$
+
+Запишим для нижней точки траектории шарика закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
+
+$$T-mg=\frac{m\upsilon_{низ}^{2}}{R}$$
+
+Подставляем $\upsilon_{низ}$:
+
+$$T-mg=\frac{m4gR}{R}=4mg$$
+$$T=5mg$$
+
+Это сила, с которой стержень действует на шарик. По третьему закону Ньютона, ось, к которой прикреплен стержень, испытывает такую же силу $5mg$, направленную вверх. Итак, для стержня искомая сила: $F=5mg$.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$F = 5mg$ для стержня;
+
+$F = 6mg$ для нити.