Решение

В начале определим принципиальное отличие нити от легкого стержня. Если мы шарик на нити переведём в вертикальное положение над точкой подвеса, то он под действием силы тяжести начнёт двигаться вниз (падать). А в случае со стержнем, если провести ту же манипуляцию, то шарик в верхней точке будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия, но падать не будет. Отсюда можно вывести критерий преодоления шариком верхней точки траектории.

Для шарика на нити в верхней точке потребуется некая минимальная скорость, при которой он сможет описать круговую траекторию. Минимальность скорости будет обеспечивать тот факт, что сила натяжения нити $T$ станет равной 0 и шарик будет двигаться только под действием силы тяжести и центростремительной силы.

Для шарика на стержне такой минимальной скорости не требуется. Его скорость по прибытию в верхнюю точку будет практически равна 0 и он по инерции продолжит свой путь.

Теперь детально рассмотрим каждый случай с учётом наших критериев.

$\textbf{Для шарика на нити}$ в верхней точке траектории запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$mg=\frac{m\upsilon_{верх}^{2}}{R}$$

откуда

$$\upsilon_{верх}=\sqrt{gR}$$

По закону сохранения энергии:

$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=\frac{1}{2}m\upsilon_{верх}^{2} + mg2R$$

Подставляем $\upsilon_{верх}$

$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=\frac{1}{2}mgR + 2mgR=\frac{5}{2}mgR$$
$$\upsilon_{низ}=\sqrt{5gR}$$

Запишим для нижней точки траектории шарика закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$T-mg=\frac{m\upsilon_{низ}^{2}}{R}$$

Подставляем $\upsilon_{низ}$:

$$T-mg=\frac{m5gR}{R}=5mg$$
$$T=6mg$$

Это сила, с которой нить действует на шарик. По третьему закону Ньютона, ось, к которой прикреплена нить, испытывает такую же силу $6mg$, направленную вверх. Итак, для нити искомая сила: $F=6mg$.

$\textbf{Для шарика на стержне}$ запишем закон сохранения энергии для нижнего и верхнего положения:

$$\frac{1}{2}m\upsilon_{низ}^{2}=mg2R$$
$$\upsilon_{низ}=\sqrt{4gR}$$

Запишим для нижней точки траектории шарика закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

$$T-mg=\frac{m\upsilon_{низ}^{2}}{R}$$

Подставляем $\upsilon_{низ}$:

$$T-mg=\frac{m4gR}{R}=4mg$$
$$T=5mg$$

Это сила, с которой стержень действует на шарик. По третьему закону Ньютона, ось, к которой прикреплен стержень, испытывает такую же силу $5mg$, направленную вверх. Итак, для стержня искомая сила: $F=5mg$.