$2.4.39.$ Автомобиль массы $m$ трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу $µ$. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя $N$.
### Решение
Когда автомобиль начинает движение, то сила, обеспечивающая, разгон автомобиля это сила трения:
$$F_{тяги}=F_{тр}=\mu mg$$
Так как обе оси ведущие, вся эта сила участвует в разгоне. Так как сила трения разгоняет автомобиль, согласно второму закону Ньютона:
$$m\frac{d\upsilon}{dt}=\mu mg$$
$$d\upsilon=\mu g \cdot dt$$
Проинтегрируем, используя начальное условие, что при $\upsilon(0)=0$:
$$\upsilon=\mu gt$$
Но скорость не может возрастать до бесконечности с течением времени. Наступает момент, когда сила тяги, ранее определяемая трением становится равной силе, которая определяется мощностью двигателя:
$$F_{тяги}=\frac{N}{\upsilon}$$
Найдем скорость, при которой осуществляется этот переход:
$$\mu mg=\frac{N}{\upsilon_{1}}$$
$$\upsilon_{1}=\frac{N}{\mu mg}$$
Так как до этого момента скорость изменялась по закону $\upsilon=\mu gt$, то отсюда найдем момент времени $t_{1}$ перехода:
$$\upsilon_{1}=\mu gt_{1}$$
$$\frac{N}{\mu mg}=\mu gt_{1}$$
$$t_{1}=\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$$
После $t\gt t_{1}$ сила тяги автомобиля ограничивается его мощностью:
$$N=F_{тяги}\upsilon$$
По второму закону Ньютона: $F_{тяги}=m\frac{d\upsilon}{dt}$, подставим в формулу мощности:
$$N=m\frac{d\upsilon}{dt}\upsilon$$
$$\upsilon d\upsilon=\frac{N}{m}dt$$
@@ -43,6 +43,21 @@Решение
Проинтегрируем в пределах от $\upsilon_{1}$ до $\upsilon$ и по времени от $t_{1}$ до $t$:
Итак, для отрезка времени $0\lt t\leqslant t_{1}$ ($t_{1}=\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$) зависимость скорости от времени будет линейной: $\upsilon=\mu gt$.
+
+
На участке времени $t\gt t_{1}$ зависимость скорости от времени будет $\upsilon=\sqrt{\frac{2N}{m}\left( t-\frac{N}{2m\mu^{2}g^{2}}\right)}$.
+
#### Ответ
$\upsilon=\mu gt \text{ при }t\leqslant t_{1}\equiv\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$
$\upsilon=\sqrt{\frac{2N}{m}\left( t-\frac{N}{2m\mu^{2}g^{2}}\right)}\text{ при }t\gt t_{1}$
unchanged lines 3
### Условие
### Условие
$2.4.39.$ Автомобиль массы $m$ трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу $µ$. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя $N$.
$2.4.39.$ Автомобиль массы $m$ трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу $µ$. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя $N$.
### Решение
### Решение
Когда автомобиль начинает движение, то сила, обеспечивающая, разгон автомобиля это сила трения:
Когда автомобиль начинает движение, то сила, обеспечивающая, разгон автомобиля это сила трения:
$$F_{тяги}=F_{тр}=\mu mg$$
$$F_{тяги}=F_{тр}=\mu mg$$
Так как обе оси ведущие, вся эта сила участвует в разгоне. Так как сила трения разгоняет автомобиль, согласно второму закону Ньютона:
Так как обе оси ведущие, вся эта сила участвует в разгоне. Так как сила трения разгоняет автомобиль, согласно второму закону Ньютона:
$$m\frac{d\upsilon}{dt}=\mu mg$$
$$m\frac{d\upsilon}{dt}=\mu mg$$
$$d\upsilon=\mu g \cdot dt$$
$$d\upsilon=\mu g \cdot dt$$
Проинтегрируем, используя начальное условие, что при $\upsilon(0)=0$:
Проинтегрируем, используя начальное условие, что при $\upsilon(0)=0$:
$$\upsilon=\mu gt$$
$$\upsilon=\mu gt$$
Но скорость не может возрастать до бесконечности с течением времени. Наступает момент, когда сила тяги, ранее определяемая трением становится равной силе, которая определяется мощностью двигателя:
Но скорость не может возрастать до бесконечности с течением времени. Наступает момент, когда сила тяги, ранее определяемая трением становится равной силе, которая определяется мощностью двигателя:
$$F_{тяги}=\frac{N}{\upsilon}$$
$$F_{тяги}=\frac{N}{\upsilon}$$
Найдем скорость, при которой осуществляется этот переход:
Найдем скорость, при которой осуществляется этот переход:
$$\mu mg=\frac{N}{\upsilon_{1}}$$
$$\mu mg=\frac{N}{\upsilon_{1}}$$
$$\upsilon_{1}=\frac{N}{\mu mg}$$
$$\upsilon_{1}=\frac{N}{\mu mg}$$
Так как до этого момента скорость изменялась по закону $\upsilon=\mu gt$, то отсюда найдем момент времени $t_{1}$ перехода:
Так как до этого момента скорость изменялась по закону $\upsilon=\mu gt$, то отсюда найдем момент времени $t_{1}$ перехода:
$$\upsilon_{1}=\mu gt_{1}$$
$$\upsilon_{1}=\mu gt_{1}$$
$$\frac{N}{\mu mg}=\mu gt_{1}$$
$$\frac{N}{\mu mg}=\mu gt_{1}$$
$$t_{1}=\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$$
$$t_{1}=\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$$
После $t\gt t_{1}$ сила тяги автомобиля ограничивается его мощностью:
После $t\gt t_{1}$ сила тяги автомобиля ограничивается его мощностью:
$$N=F_{тяги}\upsilon$$
$$N=F_{тяги}\upsilon$$
По второму закону Ньютона: $F_{тяги}=m\frac{d\upsilon}{dt}$, подставим в формулу мощности:
По второму закону Ньютона: $F_{тяги}=m\frac{d\upsilon}{dt}$, подставим в формулу мощности:
$$N=m\frac{d\upsilon}{dt}\upsilon$$
$$N=m\frac{d\upsilon}{dt}\upsilon$$
$$\upsilon d\upsilon=\frac{N}{m}dt$$
$$\upsilon d\upsilon=\frac{N}{m}dt$$
@@ -43,6 +43,21 @@Решение
Проинтегрируем в пределах от $\upsilon_{1}$ до $\upsilon$ и по времени от $t_{1}$ до $t$:
Проинтегрируем в пределах от $\upsilon_{1}$ до $\upsilon$ и по времени от $t_{1}$ до $t$:
