$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.
### Решение
Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.
В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:
Так как обе вторые производные положительны, то экстремум является минимумом.
+
+
Положение равновесия, при котором уровни жидкости в сообщающихся сосудах одинаковы, соответствует минимуму потенциальной энергии.
+
#### Ответ
$U\left( h_{1},h_{2}\right)$ минимальна при $h_{1}=h_{2}$
### Условие
### Условие
$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.
$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.
### Решение
### Решение
Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.
Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.
В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:
В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:
