Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #13710 parent #13709 ← older newer →
ru/4.1.18.md +31 −3
@@ -1,11 +1,39 @@
### Условие
−$4.1.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.1.18.$ Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.
### Решение
−апв
+Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.
+В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:
+
+$$U_{1}=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}$$
+
+Аналогично во втором сосуде:
+
+$$U_{2}=\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$
+
+Суммарная потенциальная энергия жидкости:
+
+$$U\left( h_{1},h_{2} \right)=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}+\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$
+
+Объём жидкости постоянен, поэтому:
+
+$$S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}=const$$
+
+Используем метод множителей Лагранжа для нахождения экстремума функции $U\left( h_{1},h_{2} \right)$ при заданном ограничении. Функция Лагранжа:
+
+$$L=\frac{1}{2}\rho g\left( S_{1}h_{1}^{2}+S_{2}h_{2}^{2} \right)+\lambda\left( S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}-const \right)$$
+
+Приравниваем частные производные к нулю:
+
+$$\frac{\partial L}{\partial h_{1}}=\rho gS_{1}h_{1}+\lambda S_{1}=0$$
+$$\frac{\partial L}{\partial h_{2}}=\rho gS_{2}h_{2}+\lambda S_{2}=0$$
+
+Упраздняя, получим:
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$U\left( h_{1},h_{2} \right)$ минимальна при $h_{1}=h_{2}$