Edit to “Решение”
ru/4.1.19.md
+29 −0
| ### Условие | |||
| $4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| @@ -8,6 +8,35 @@Решение | |||
| Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости. | |||
| + | $$A=A_{p}+\Delta U$$ | ||
| + | |||
| + | Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки: | ||
| + | |||
| + | $$F=PS=\rho gh \cdot \pi r^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет: | ||
| + | |||
| + | $$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot \pi r^{2}l$$ | ||
| + | |||
| + | Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости: | ||
| + | |||
| + | $$V=\pi r^{2}l$$ | ||
| + | |||
| + | Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд} \cdot \Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды: | ||
| + | |||
| + | $$m=\rho V=\rho \pi r^{2}l$$ | ||
| + | |||
| + | Изменение потенциальной энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta U=mg\frac{\Delta H}{2}=\rho \pi r^{2}lg\frac{\Delta H}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим $\Delta H$ в формулу: | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| $A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$ | |||
| unchanged lines 3 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. | $4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| @@ -8,6 +8,35 @@Решение | |||
| Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости. | Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости. | ||
| $$A=A_{p}+\Delta U$$ | |||
| Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки: | |||
| $$F=PS=\rho gh \cdot \pi r^{2}$$ | |||
| Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет: | |||
| $$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot \pi r^{2}l$$ | |||
| Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости: | |||
| $$V=\pi r^{2}l$$ | |||
| Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд} \cdot \Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$: | |||
| $$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ | |||
| Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды: | |||
| $$m=\rho V=\rho \pi r^{2}l$$ | |||
| Изменение потенциальной энергии: | |||
| $$\Delta U=mg\frac{\Delta H}{2}=\rho \pi r^{2}lg\frac{\Delta H}{2}$$ | |||
| Подставим $\Delta H$ в формулу: | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$ | $A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$ | ||
| unchanged lines 3 | |||