| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. |
| $4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости. | | Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости. |
| | | |
| $$A=A_{p}+\Delta U$$ | | $$A=A_{p}+\Delta U$$ |
| | | |
| Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки: | | Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки: |
| | | |
| $$F=PS=\rho gh \cdot \pi r^{2}$$ | | $$F=PS=\rho gh \cdot \pi r^{2}$$ |
| | | |
| Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет: | | Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет: |
| | | |
| $$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot \pi r^{2}l$$ | | $$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot \pi r^{2}l$$ |
| | | |
| Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости: | | Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости: |
| | | |
| $$V=\pi r^{2}l$$ | | $$V=\pi r^{2}l$$ |
| | | |
| Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд} \cdot \Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$: | | Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд} \cdot \Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$: |
| | | |
| $$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ | | $$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ |
| | | |
| Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды: | | Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды: |
| | | |
| $$m=\rho V=\rho \pi r^{2}l$$ | | $$m=\rho V=\rho \pi r^{2}l$$ |
| | | |
| Изменение потенциальной энергии: | | Изменение потенциальной энергии: |
| | | |
| $$\Delta U=mg\frac{\Delta H}{2}=\rho \pi r^{2}lg\frac{\Delta H}{2}$$ | | $$\Delta U=mg\frac{\Delta H}{2}=\rho \pi r^{2}lg\frac{\Delta H}{2}$$ |
| | | |
| Подставим $\Delta H$ в формулу: | | Подставим $\Delta H$ в формулу: |
| | | |
| $$\Delta U=\frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ | | $$\Delta U=\frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ |
| | | |
| Итак, наша искомая работа будет равна: | | Итак, наша искомая работа будет равна: |
| | | |
| $$A=\rho gh \cdot \pi r^{2}l + \frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ | | $$A=\rho gh \cdot \pi r^{2}l + \frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$ |
| $$A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$$ | | $$A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$$ |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$ | | $A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$ |
| | | |
