$4.2.20.$ Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна $m$. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину.
Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$.
Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя.
На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов.
Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду).
Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси:
на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$
на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$
Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y:
Подставим это значение во второе и третье уравнение:
+
+
$$6T\sqrt{3}+mg=F_{A}+2T\sqrt{3}$$
+
+
$$12T\sqrt{3}+ \frac{F_{A}}{2}=mg+2T\sqrt{3}$$
+
+
Из первого уравнения выразим силу Архимеда, а второе уравнение домножим на 2 и приведем подобные:
+
+
$$F_{A}=4T\sqrt{3}+mg$$
+
+
$$24T\sqrt{3}+ F_{A}=2mg+4T\sqrt{3}$$
+
+
Подставим силу $F_{A}$ в последнее уравнение:
+
+
$$24T\sqrt{3}+ 4T\sqrt{3}+mg=2mg+4T\sqrt{3}$$
+
+
Выразим $T$:
+
+
$$T=\frac{mg}{24\sqrt{3}}$$
+
+
Домножим на $\sqrt{3}$ числитель и знаменатель:
+
+
$$T=\frac{mg\sqrt{3}}{72}$$
#### Ответ
$T=\frac{\sqrt{3}mg}{72}$
### Условие
### Условие
$4.2.20.$ Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна $m$. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину.
$4.2.20.$ Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна $m$. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину.
Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$.
Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$.
Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя.
Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя.
На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов.
На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов.
Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду).
Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду).
Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси:
Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси:
на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$
на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$
на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$
на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$
Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y:
Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y:
