6.2.6. Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля: а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q; б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити ρ; в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости σ; г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R, если объемная плотность заряда ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара; д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра; е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины h, если объемная плотность заряда в пластине равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины
Решение
Теорма Гаусса: $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$ а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$: $$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$ $$E = 0$$ Т.к заряд внутри сферы равен нулю При $r>R$: $$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
б)
К задаче $6.2.6$
В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса: $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
в)
К задаче $6.2.6$
В качестве гауссовой поверхности возьмём цилиндр площадь основания которого $S$. Из соображений симметрии вектор напряжённости поля перпендикулярен плоскости, значит поток через бокову поверхности цилиндра равен нулю. Тогда: $$\Phi=E\cdot 2S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$ $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$ При $r>R$: $$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$ В итоге получим график:
К задаче $6.2.6$
д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$: $$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$ При $r>R$: $$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$ Тогда график:
К задаче $6.2.6$
e)
К задаче $6.2.6$
Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от x до -x, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания S): $$\Phi = E 2S = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$ $$E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$ При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$: $$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$ Тогда график:
