Edits to “Условие”, “Решение”
ru/3.5.28.md
+2 −3
| @@ -1,19 +1,18 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $3.5.28.$ Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? | |||
| − | |||
| ### Решение | |||
| Используя результат 3.5.27, запишем общее решение: | |||
| − | $$x(t) = B cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} cos(\omega t)$$ | ||
| + | $$x(t) = B \cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} \cos(\omega t)$$ | ||
| Потребуем, во-первых, чтобы начальная скорость была равна нулю (ведь тогда собственные колебания не возникнут сами собой): | |||
| $$x'(0) = 0 $$ | |||
| − | $$-\omega_{0}Bsin(\phi) = 0$$ | ||
| + | $$-\omega_{0}B\sin(\phi) = 0$$ | ||
| Откуда начальная фаза $\phi$ равна нулю. | |||
| Во-вторых, для того, чтобы пропустить время установления вынужденных колебаний, сразу отклоним осциллятор от положения равновесия на величину, равную амплитуде вынужденных колебаний $A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $: | |||
| $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | |||
| $$B + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | |||
| Тогда $B = 0$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$x'(0) = 0 $$ | |||
| $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | |||
| $$B = 0$$ | |||
| $$\phi = 0$$ | |||
| unchanged lines 18 | |||
| @@ -1,19 +1,18 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.28.$ Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? | $3.5.28.$ Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Используя результат 3.5.27, запишем общее решение: | Используя результат 3.5.27, запишем общее решение: | ||
| $$x(t) = B cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} cos(\omega t)$$ | $$x(t) = B \cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} \cos(\omega t)$$ | ||
| Потребуем, во-первых, чтобы начальная скорость была равна нулю (ведь тогда собственные колебания не возникнут сами собой): | Потребуем, во-первых, чтобы начальная скорость была равна нулю (ведь тогда собственные колебания не возникнут сами собой): | ||
| $$x'(0) = 0 $$ | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| $$-\omega_{0}Bsin(\phi) = 0$$ | $$-\omega_{0}B\sin(\phi) = 0$$ | ||
| Откуда начальная фаза $\phi$ равна нулю. | Откуда начальная фаза $\phi$ равна нулю. | ||
| Во-вторых, для того, чтобы пропустить время установления вынужденных колебаний, сразу отклоним осциллятор от положения равновесия на величину, равную амплитуде вынужденных колебаний $A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $: | Во-вторых, для того, чтобы пропустить время установления вынужденных колебаний, сразу отклоним осциллятор от положения равновесия на величину, равную амплитуде вынужденных колебаний $A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $: | ||
| $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| $$B + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | $$B + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| Тогда $B = 0$ | Тогда $B = 0$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$x'(0) = 0 $$ | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| $$B = 0$$ | $$B = 0$$ | ||
| $$\phi = 0$$ | $$\phi = 0$$ | ||
| unchanged lines 18 | |||