| @@ -1,14 +1,67 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $11.4.3.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. |
| | | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности L «запускают», подключая к соленоиду на время t постоянное напряжение. Максимальный ток в |
| | − | соленоиде I. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в |
| | − | соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние |
| | − | сопротивление соленоида было R. |
| | + | При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | $$ |
| | + | W=R\int i^2dt.\tag{1} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | iR+L\frac{di}{dt}=U. |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Можно показать [1], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right) |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое ток в цепи уменьщается в $e$ раз). |
| | + | |
| | + | С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | или, в приближении $t\gg\tau$: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [2]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | U\approx\frac{IR\tau}{t}. |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | W\approx\frac{L^2I^2}{Rt}. |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Примечание: в задачнике 1981 года был пункт про включение соленоида на переменное напряжение через диод, а задача была без «звезды». |
| | + | |
| | + | #### Литература |
| | + | |
| | + | [1] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, |
| | + | №8. |
| | + | |
| | + | [2] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5. |
| | + | |
| | + | |
| | + | #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. |
