| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. | | $11.4.3^*.$ При переходе вещества в сверхпроводящее состояние только небольшая часть электронов проводимости движется, не испытывая при этом сопротивления. Ток в сверхпроводящем соленоиде индуктивности $L$ «запускают», подключая к соленоиду на время $t$ постоянное напряжение. Максимальный ток в соленоиде $I$. Определите верхний предел количества теплоты, выделяющейся в соленоиде при запуске в нем тока. Перед переходом в сверхпроводящее состояние сопротивление соленоида было $R$. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: | | При включении $RL$-цепи на постоянное напряжение происходит переходный процесс, при котором ток в цепи устанавливается постепенно [1]. Теплоту ищем по закону Джоуля—Ленца в таком виде: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=R\int i^2dt.\tag{1} | | W=R\int i^2dt.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: | | Закон изменения тока находится через дифференциальное уравнение по второму правилу Кирхгофа для $RL$-цепи: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| iR+L\frac{di}{dt}=U. | | iR+L\frac{di}{dt}=U. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость: | | Можно показать [2], что с учетом начальных условий данному дифф. уравнению удовлетворяет зависимость: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right), | | i=\frac{U}{R}\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз). | | где $\tau=\dfrac{L}{R}$ есть постоянная времени (время, за которое переменная составляющая тока $i$ меняется в $e$ раз). |
| | | |
| С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: | | С учетом найденной зависимости тока в цепи перепишем формулу $(1)$, взяв интеграл: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), | | W=\frac{U^2}{R}\left(t+2\tau e^{-\tfrac{t}{\tau}}-\frac{\tau}{2}e^{-2\tfrac{t}{\tau}}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| или, в приближении $t\gg\tau$: | | или, в приближении $t\gg\tau$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} | | W\approx\frac{U^2}{R}t.\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: | | Напряжение источника $U$ найдем из закона изменения тока, записанного выше, подстановкой в него значения $I$ тока для момента времени $t$, заданного в условии: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. | | U=\frac{IR}{\left(1-e^{-\tfrac{t}{\tau}}\right)}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что: | | Преобразуем эту формулу. Пренебрегать слагаемым с экспонентой не можем, так как в таком случае получаем приближение лишь для постоянного тока. Разложим величину $e^{-\tfrac{t}{\tau}}$ в ряд Тейлора до второго члена [3]: $e^{-\tfrac{t}{\tau}}\approx1-\dfrac{t}{\tau}$. Так что: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U\approx\frac{IR\tau}{t}. | | U\approx\frac{IR\tau}{t}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: | | Подставляем вот эту формулу в формулу $(2)$ и с учетом $\tau=\dfrac{L}{R}$ после упрощений получаем искомую энергию: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| [1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | | [1] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. |
| | | |
| [2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8. | | [2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8. |
| | | |
| [3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5. | | [3] Голубов Б. Что такое ряд Тейлора? «Квант», 1979, №5. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. | | #### Ответ: $W\approx\dfrac{L^2I^2}{Rt}$. |
