Решение

При данном течении жидкости можно использовать уравнение Навье-Стокса в стационарном режиме. Предполагаем, что течение установившееся, ламинарное и происходит вдоль оси $x$ (горизонтальное направление). Также считаем, что давление постоянно и не зависит от $y$. Тогда основное уравнение движения для вязкой жидкости в одномерном случае упрощается до уравнения:

$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dy^{2}}=0$$

Интегрируем дважды:

$$\frac{d\upsilon}{dy}=C_{1} \text{, } \upsilon(y)=C_{1}y+C_{2}$$

Используем граничные условия:

$\to \upsilon(0)=0$ (нижняя плоскость неподвижна),

$\to \upsilon(h)=\upsilon_{0}$ (верхняя плоскость движется со скоростью $\upsilon_{0}$).

Подставляя $y=0$: $0=C_{1}\cdot 0+C_{2}\Rightarrow C_{2}=0$

Подставляя $y=h$: $\upsilon_{0}=C_{1}\cdot h\Rightarrow C_{1}=\frac{\upsilon_{0}}{h}$

Таким образом, распределение скорости имеет вид:

$$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y$$

По определению сила вязкого трения $F$ на единицу площади каждой из плоскостей:

$$F=\eta\frac{d\upsilon}{dy}$$

Подставляя найденное распределение скорости:

$$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$$