Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #13861 parent #13860 ← older newer →
ru/4.4.1.md +33 −3
@@ -1,11 +1,41 @@
### Условие
−$4.4.1.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.4.1.$ Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости $\eta$. Одна из плоскостей движется со скоростью $\upsilon_{0}$, другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями $h$.
### Решение
−вав
+При данном течении жидкости можно использовать уравнение Навье-Стокса в стационарном режиме. Предполагаем, что течение установившееся, ламинарное и происходит вдоль оси $x$ (горизонтальное направление). Также считаем, что давление постоянно и не зависит от $y$. Тогда основное уравнение движения для вязкой жидкости в одномерном случае упрощается до уравнения:
+$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dy^{2}}=0$$
+
+Интегрируем дважды:
+
+$$\frac{d\upsilon}{dy}=C_{1} \text{, } \upsilon(y)=C_{1}y+C_{2}$$
+
+Используем граничные условия:
+
+$\to \upsilon(0)=0$ (нижняя плоскость неподвижна),
+
+$\to \upsilon(h)=\upsilon_{0}$ (верхняя плоскость движется со скоростью $\upsilon_{0}$).
+
+Подставляя $y=0$: $0=C_{1}\cdot 0+C_{2}\Rightarrow C_{2}=0$
+
+Подставляя $y=h$: $\upsilon_{0}=C_{1}\cdot h\Rightarrow C_{1}=\frac{\upsilon_{0}}{h}$
+
+Таким образом, распределение скорости имеет вид:
+
+$$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y$$
+
+По определению сила вязкого трения $F$ на единицу площади каждой из плоскостей:
+
+$$F=\eta\frac{d\upsilon}{dy}$$
+
+Подставляя найденное распределение скорости:
+
+$$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\upsilon(y)=\frac{\upsilon_{0}}{h}y \text{, }0\lt y\lt h$
+
+$F=\eta\frac{\upsilon_{0}}{h}$