Решение

$\textbf{а.}$ Давление светового излучения на поверхность с коэффициентом отражения $\rho$ равен:

$$P=\frac{I}{c}(1+\rho)$$

где $I$ - интенсивность излучения (мощность на единицу площади), $c$ - скорость света.

По условию задачи у нас парус яхты полностью отражает излучение, тогда $\rho=1$ и формула для давления преобретает вид:

$$P=\frac{2I}{c}$$

Если наша космическая яхта находится на расстоянии $R$ от звезды, и звезда излучает по всем направлениям равномерно, то по определению:

$$I=\frac{\Phi}{4\pi R^{2}}$$

Считаем, что весь поток фотонов падает нормально на парус. Сила, действующая на парус площадью $S$, определяется так:

$$F=PS=\frac{2I}{c}S=\frac{2}{c}\cdot \frac{\Phi}{4\pi R^{2}}\cdot S=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}c}$$

Эта сила направлена радиально от звезды. По условию задачи, мы пренебрегаем действием на яхту силы гравитационного притяжения со стороны звезды, тогда второй закон Ньютона запишем так:

$$a=\frac{F}{m}$$
$$a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$$

$\textbf{б.}$ В подзадаче $\textbf{а}$ мы определили, що на яхту со стороны излучения действует сила, которая зависит от расстояния $r$ до звезды и направлена радиально:

$$F=\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}$$

Тогда можно вычислить работу, которую выполняет эта сила при движении яхты вдоль радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$:

$$A=\int_{R_{1}}^{R_{2}}F(r)dr=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}dr=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left[ -\frac{1}{r} \right]^{R_{2}}_{R_{1}}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$

Начальную скорость яхты принимаем равной 0, тогда вся работа давления света идёт на приращение кинетической энергии:

$$A=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$

Подставим выражение для работы:

$$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$

Отсюда сразу найдём скорость яхты:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$$

В ответе задачника опечатка/ошибка.