Edit to “Решение”

emixter edited Mar 30, 2025, 5:58 PM

View solution History

revision #13906 parent #13905 ← older

ru/5.11.16.md +22 −2

			### Условие

			$5.11.16.$ «. . . Космическая яхта представляет собой нечто вроде сферы, внешняя оболочка которой — необычайно тонкий и легкий парус — вздувалась и перемещалась в пространстве, улавливая давление световых лучей. . .Если бы этот кораблик остался без управления поблизости от какой-либо звезды . . . и сила притяжения была невелика, он устремился бы прочь от звезды по прямой линии» (Буль П. Планета обезьян // Библиотека современной фантастики. 1967. Т. 13. С. 27).

			$\textbf{а.}$ Какое максимальное ускорение может развить эта космическая яхта на расстоянии $R$ от звезды, если поток излучения звезды $\Phi$, площадь паруса $S$, масса яхты $m$?

			$\textbf{б.}$ Какую скорость приобрела бы яхта, пройдя под действием излучения расстояние по радиусу от $R_{1}$ до $R_{2}$? Парус полностью отражает излучение.

			### Решение

			![\|1024x1024, 50%](../../img/5.11.16/Figure.png)

			$\textbf{а.}$ Давление светового излучения на поверхность с коэффициентом отражения $\rho$ равен:

			$$P=\frac{I}{c}(1+\rho)$$

			где $I$ - интенсивность излучения (мощность на единицу площади), $c$ - скорость света.

			По условию задачи у нас парус яхты полностью отражает излучение, тогда $\rho=1$ и формула для давления преобретает вид:
		@@ -20,7 +20,7 @@Решение

			$$P=\frac{2I}{c}$$

		−	Если наша космическая яхта находится на расстоянии $R$ от звезды, то по определению:
		+	Если наша космическая яхта находится на расстоянии $R$ от звезды, и звезда излучает по всем направлениям равномерно, то по определению:

			$$I=\frac{\Phi}{4\pi R^{2}}$$

			Считаем, что весь поток фотонов падает нормально на парус. Сила, действующая на парус площадью $S$, определяется так:

			$$F=PS=\frac{2I}{c}S=\frac{2}{c}\cdot \frac{\Phi}{4\pi R^{2}}\cdot S=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}c}$$

			Эта сила направлена радиально от звезды. По условию задачи, мы пренебрегаем действием на яхту силы гравитационного притяжения со стороны звезды, тогда второй закон Ньютона запишем так:

		@@ -33,7 +33,27 @@Решение
			$$a=\frac{F}{m}$$
			$$a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$$

		−	$\textbf{б.}$
		+	$\textbf{б.}$ В подзадаче $\textbf{а}$ мы определили, що на яхту со стороны излучения действует сила, которая зависит от расстояния $r$ до звезды и направлена радиально:
		+
		+	$$F=\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}$$
		+
		+	Тогда можно вычислить работу, которую выполняет эта сила при движении яхты вдоль радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$:
		+
		+	$$A=\int_{R_{1}}^{R_{2}}F(r)dr=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}dr=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left[ -\frac{1}{r} \right]^{R_{2}}_{R_{1}}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$
		+
		+	Начальную скорость яхты принимаем равной 0, тогда вся работа давления света идёт на приращение кинетической энергии:
		+
		+	$$A=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$
		+
		+	Подставим выражение для работы:
		+
		+	$$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$
		+
		+	Отсюда сразу найдём скорость яхты:
		+
		+	$$\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$$
		+
		+	В ответе задачника опечатка/ошибка.

			#### Ответ

			$\textbf{а.}$ $a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$

			$\textbf{б.}$ $\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$
		unchanged lines 3

	### Условие		### Условие

	$5.11.16.$ «. . . Космическая яхта представляет собой нечто вроде сферы, внешняя оболочка которой — необычайно тонкий и легкий парус — вздувалась и перемещалась в пространстве, улавливая давление световых лучей. . .Если бы этот кораблик остался без управления поблизости от какой-либо звезды . . . и сила притяжения была невелика, он устремился бы прочь от звезды по прямой линии» (Буль П. Планета обезьян // Библиотека современной фантастики. 1967. Т. 13. С. 27).		$5.11.16.$ «. . . Космическая яхта представляет собой нечто вроде сферы, внешняя оболочка которой — необычайно тонкий и легкий парус — вздувалась и перемещалась в пространстве, улавливая давление световых лучей. . .Если бы этот кораблик остался без управления поблизости от какой-либо звезды . . . и сила притяжения была невелика, он устремился бы прочь от звезды по прямой линии» (Буль П. Планета обезьян // Библиотека современной фантастики. 1967. Т. 13. С. 27).

	$\textbf{а.}$ Какое максимальное ускорение может развить эта космическая яхта на расстоянии $R$ от звезды, если поток излучения звезды $\Phi$, площадь паруса $S$, масса яхты $m$?		$\textbf{а.}$ Какое максимальное ускорение может развить эта космическая яхта на расстоянии $R$ от звезды, если поток излучения звезды $\Phi$, площадь паруса $S$, масса яхты $m$?

	$\textbf{б.}$ Какую скорость приобрела бы яхта, пройдя под действием излучения расстояние по радиусу от $R_{1}$ до $R_{2}$? Парус полностью отражает излучение.		$\textbf{б.}$ Какую скорость приобрела бы яхта, пройдя под действием излучения расстояние по радиусу от $R_{1}$ до $R_{2}$? Парус полностью отражает излучение.

	### Решение		### Решение

	![\|1024x1024, 50%](../../img/5.11.16/Figure.png)		![\|1024x1024, 50%](../../img/5.11.16/Figure.png)

	$\textbf{а.}$ Давление светового излучения на поверхность с коэффициентом отражения $\rho$ равен:		$\textbf{а.}$ Давление светового излучения на поверхность с коэффициентом отражения $\rho$ равен:

	$$P=\frac{I}{c}(1+\rho)$$		$$P=\frac{I}{c}(1+\rho)$$

	где $I$ - интенсивность излучения (мощность на единицу площади), $c$ - скорость света.		где $I$ - интенсивность излучения (мощность на единицу площади), $c$ - скорость света.

	По условию задачи у нас парус яхты полностью отражает излучение, тогда $\rho=1$ и формула для давления преобретает вид:		По условию задачи у нас парус яхты полностью отражает излучение, тогда $\rho=1$ и формула для давления преобретает вид:
	@@ -20,7 +20,7 @@Решение

	$$P=\frac{2I}{c}$$		$$P=\frac{2I}{c}$$

	Если наша космическая яхта находится на расстоянии $R$ от звезды, то по определению:		Если наша космическая яхта находится на расстоянии $R$ от звезды, и звезда излучает по всем направлениям равномерно, то по определению:

	$$I=\frac{\Phi}{4\pi R^{2}}$$		$$I=\frac{\Phi}{4\pi R^{2}}$$

	Считаем, что весь поток фотонов падает нормально на парус. Сила, действующая на парус площадью $S$, определяется так:		Считаем, что весь поток фотонов падает нормально на парус. Сила, действующая на парус площадью $S$, определяется так:

	$$F=PS=\frac{2I}{c}S=\frac{2}{c}\cdot \frac{\Phi}{4\pi R^{2}}\cdot S=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}c}$$		$$F=PS=\frac{2I}{c}S=\frac{2}{c}\cdot \frac{\Phi}{4\pi R^{2}}\cdot S=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}c}$$

	Эта сила направлена радиально от звезды. По условию задачи, мы пренебрегаем действием на яхту силы гравитационного притяжения со стороны звезды, тогда второй закон Ньютона запишем так:		Эта сила направлена радиально от звезды. По условию задачи, мы пренебрегаем действием на яхту силы гравитационного притяжения со стороны звезды, тогда второй закон Ньютона запишем так:

	@@ -33,7 +33,27 @@Решение
	$$a=\frac{F}{m}$$		$$a=\frac{F}{m}$$
	$$a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$$		$$a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$$

	$\textbf{б.}$		$\textbf{б.}$ В подзадаче $\textbf{а}$ мы определили, що на яхту со стороны излучения действует сила, которая зависит от расстояния $r$ до звезды и направлена радиально:

			$$F=\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}$$

			Тогда можно вычислить работу, которую выполняет эта сила при движении яхты вдоль радиуса от $R_{1}$ до $R_{2}$:

			$$A=\int_{R_{1}}^{R_{2}}F(r)dr=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{S\Phi}{2\pi r^{2}c}dr=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left[ -\frac{1}{r} \right]^{R_{2}}_{R_{1}}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$

			Начальную скорость яхты принимаем равной 0, тогда вся работа давления света идёт на приращение кинетической энергии:

			$$A=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$

			Подставим выражение для работы:

			$$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{S\Phi}{2\pi c}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$

			Отсюда сразу найдём скорость яхты:

			$$\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$$

			В ответе задачника опечатка/ошибка.

	#### Ответ		#### Ответ

	$\textbf{а.}$ $a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$		$\textbf{а.}$ $a=\frac{S\Phi}{2\pi R^{2}mc}$

	$\textbf{б.}$ $\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$		$\textbf{б.}$ $\upsilon=\sqrt{\frac{S\Phi}{\pi cm}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)}$
	unchanged lines 3