Решение

Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:

$$Fl = \frac{mv_1'^2}{2}$$

$$v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$$

Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:

$$mv_1' = 2mv_2$$

$$v_2 = \frac{v_1'}{2}$$

Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:

$$v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}$$

$$v_3 = \frac{2v_2'}{3}$$

Видно, что:

$$v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}$$

$$v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}$$

Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:

$$v = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}$$