Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

astrosander edited Mar 31, 2025, 2:54 PM

View solution History

revision #13953 parent #13468 ← older

ru/2.5.38.md +22 −7

		@@ -1,52 +1,67 @@
			### Условие

		−	$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков
		−	прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение
		−	скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между
		−	брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.
		−	![К задаче $2.5.38$\|220x66, 50%](../../img/2.5.38/2025-03-08_02-44-17.png)
		+	$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.

		+	![К задаче $2.5.38^*.$\|669x205, 50%](../../img/2.5.38/statement.png)
		+
			### Решение

			Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:
		+
			$$
			Fl = \frac{mv_1'^2}{2}
			$$
		+
			$$
			v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}
			$$
		+
			Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:
		+
			$$
			mv_1' = 2mv_2
			$$
		+
			$$
			v_2 = \frac{v_1'}{2}
			$$
		+
			Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:
		+
			$$
			v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}
			$$
		+
			$$
			v_3 = \frac{2v_2'}{3}
			$$
		+
			Видно, что:
		+
			$$
			v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
			$$
		+
			$$
			v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
			$$
		+
			Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:
		+
			$$
		−	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
		+	v = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
			$$
		+
			#### Ответ
		+
			$$
			v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
			$$
		+
			$$
			v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
			$$
		+
			$$
		−	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
		+	v = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
			$$

	@@ -1,52 +1,67 @@
	### Условие		### Условие

	$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков		$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.
	прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение
	скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между
	брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.
	![К задаче $2.5.38$\|220x66, 50%](../../img/2.5.38/2025-03-08_02-44-17.png)

			![К задаче $2.5.38^*.$\|669x205, 50%](../../img/2.5.38/statement.png)

	### Решение		### Решение

	Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:		Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:

	$$		$$
	Fl = \frac{mv_1'^2}{2}		Fl = \frac{mv_1'^2}{2}
	$$		$$

	$$		$$
	v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}		v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}
	$$		$$

	Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:		Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:

	$$		$$
	mv_1' = 2mv_2		mv_1' = 2mv_2
	$$		$$

	$$		$$
	v_2 = \frac{v_1'}{2}		v_2 = \frac{v_1'}{2}
	$$		$$

	Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:		Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:

	$$		$$
	v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}		v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}
	$$		$$

	$$		$$
	v_3 = \frac{2v_2'}{3}		v_3 = \frac{2v_2'}{3}
	$$		$$

	Видно, что:		Видно, что:

	$$		$$
	v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}		v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
	$$		$$

	$$		$$
	v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}		v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
	$$		$$

	Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:		Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:

	$$		$$
	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}		v = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}		v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
	$$		$$

	$$		$$
	v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}		v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
	$$		$$

	$$		$$
	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}		v = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
	$$		$$