| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $14.3.9.$ Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость плоского конденсатора при движении его со скоростью $\beta с$: а) вдоль пластин? б) перпендикулярно пластинам? | | $14.3.9.$ Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость плоского конденсатора при движении его со скоростью $\beta с$: а) вдоль пластин? б) перпендикулярно пластинам? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Заряд на пластинах Q остаётся постоянным в разных системах отсчёта, так как заряд является инвариантом в релятивистской теории, то есть $Q=CU\Longleftrightarrow Inv$ | | Заряд на пластинах Q остаётся постоянным в разных системах отсчёта, так как заряд является инвариантом в релятивистской теории, то есть $Q=CU\Longleftrightarrow Inv$ |
| | | |
| Обозначим лоренцевский фактор: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\upsilon}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\beta c}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ | | Обозначим лоренцевский фактор: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\upsilon}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\beta c}{c})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ |
| | | |
| а) При движении вдоль пластин релятивистские эффекты проявляются следующим образом: | | а) При движении вдоль пластин релятивистские эффекты проявляются следующим образом: |
| | | |
| $\rightarrow$ расстояние между пластинами $d$ не изменяется, так как сокращение длины действует только вдоль направления движения. | | $\rightarrow$ расстояние между пластинами $d$ не изменяется, так как сокращение длины действует только вдоль направления движения. |
| | | |
| $\rightarrow$ площадь пластин уменьшается: $\mathrm{S}^{'}=\frac{S}{\gamma}$, поскольку длина одной из сторон пластин сокращается. | | $\rightarrow$ площадь пластин уменьшается: $\mathrm{S}^{'}=\frac{S}{\gamma}$, поскольку длина одной из сторон пластин сокращается. |
| | | |
| $\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}^{'}}{d}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\frac{S}{\gamma}}{d}=\frac{C}{\gamma}$ | | $\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}^{'}}{d}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\frac{S}{\gamma}}{d}=\frac{C}{\gamma}$ |
| | | |
| Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна увеличиться в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\gamma U=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} U$. Таким образом, разность потенциалов увеличится в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз. | | Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна увеличиться в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\gamma U=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} U$. Таким образом, разность потенциалов увеличится в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз. |
| | | |
| б) При движении перпендикулярно пластинам релятивистские эффекты проявляются следующим образом: | | б) При движении перпендикулярно пластинам релятивистские эффекты проявляются следующим образом: |
| | | |
| $\rightarrow$ расстояние между пластинами сокращается: $\mathrm{d}^{'}=\frac{d}{\gamma}$ | | $\rightarrow$ расстояние между пластинами сокращается: $\mathrm{d}^{'}=\frac{d}{\gamma}$ |
| | | |
| $\rightarrow$ Площадь пластин остается неизменной: $\mathrm{S}^{'}=S$ | | $\rightarrow$ Площадь пластин остается неизменной: $\mathrm{S}^{'}=S$ |
| | | |
| $\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}}{\mathrm{d}^{'}}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}S}{\frac{d}{\gamma}}=\gamma C$ | | $\rightarrow$ ёмкость изменяется как: $\mathrm{C}^{'}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}\mathrm{S}}{\mathrm{d}^{'}}=\frac{\mathrm{\varepsilon}_{0}S}{\frac{d}{\gamma}}=\gamma C$ |
| | | |
| Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна уменьшится в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\frac{U}{\gamma}$. Таким образом, разность потенциалов уменьшается в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз. | | Используя инвариантность заряда, получим, что разность потенциалов должна уменьшится в $\gamma$: $\mathrm{U}^{'}=\frac{U}{\gamma}$. Таким образом, разность потенциалов уменьшается в $\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ раз. |
