5.8.3 | revision #14004 | Savchenko Solutions

Условие

5.8.3. В сосуде вместимостью $V_{0}$ находятся $$N$$ молекул.

$а$\textbf{а.}$$ Определите вероятность того, что в объеме $$V$$ , который представляет собой часть объема $V_{0}$ , не будет ни одной молекулы.

$б$\textbf{б.}$$ Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого события была близка к $10^{-2}$ ?

$а$\textbf{а.}$$ Каждая молекула независимо распределена в $V_{0}$ , поэтому вероятность обнаружить одну молекулу в объёме $$V$$ будет равна:

$p^{'}=\frac{V}{V_{0}}$

Вероятность противоположного события, то есть не обнаружить одну молекулу в заданом объёме, будет равна:

$p_{1}=1-p^{'}=1-\frac{V}{V_{0}}$

Вероятность не обнаружить одновременно две молекулы в заданом объёме будет:

$p_{2}=p_{1}\cdot p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{2}$

Вероятность не обнаружить одновременно $$N$$ молекулы в заданом объёме будет:

$p_{N}=p_{1}\cdots p_{1}=\prod_{i=1}^{N}\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{i}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N} \tag{1}$

$б$\textbf{б.}$$ Если вероятность такого события равна $p_{N}=10^{-2}$ , то объём найдем из выражения (1):

$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$

Возведём в степень $\frac{1}{N}$ :

$1-\frac{V}{V_{0}}=10^{-\frac{2}{N}}$

Отсюда $$V$$ :

$V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$

$а$\textbf{а.}$$ $p=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$

$б$\textbf{б.}$$ $V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$