Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.8.1.md
+39 −3
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.8.1.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $5.8.1.$ $\textbf{а.}$ Разделим сосуд вместимости $V$ на две одинаковые части 1 и 2. Пусть в этом сосуде движется одна молекула. Будем наблюдать за ней в течение времени $\tau$. В среднем половину этого времени молекула будет находиться в части 1 сосуда, а половину — в части 2. В течение какого времени в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, если в сосуде движутся две молекулы? | ||
| + | $\textbf{б.}$ В сосуде движутся три молекулы. В течение какого времени они будут находится одновременно в части 1? | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ В сосуде движутся $N$ молекул. В течение какого времени они будут находится одновременно в части 1? | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | dff | ||
| + | $\textbf{а.}$ Для каждой молекулы вероятность находиться в части 1 в любой момент времени равна $\frac{1}{2}$. Так как молекулы движутся независимо, вероятность того, что обе молекулы одновременно окажутся в части 1, равна: | ||
| + | $$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | С другой стороны эта вероятность равна отношению времени, в течении которого в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, ко всему времени наблюдения $\tau$: | ||
| + | |||
| + | $$p=\frac{t}{\tau}$$ | ||
| + | |||
| + | Приравнивая два выражения, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{t}{\tau}=\frac{1}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | $$t=\frac{\tau}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б.}$ Вероятность того, что все три молекулы одновременно окажутся в части 1, равна: | ||
| + | |||
| + | $$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$ | ||
| + | |||
| + | Аналогично подзадаче $\textbf{а.}$ эта вероятность будет равна $p=\frac{t}{\tau}$, здесь $t$ - время в течении которого три молекулы будут находится одновременно в части 1: | ||
| + | |||
| + | $$t=\frac{\tau}{8}$$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ Обобщим наш результат для $N$ молекул. Вероятность того, что все $N$ молекул одновременно окажутся в части 1, равна: | ||
| + | |||
| + | $$p=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\frac{1}{2^{N}}$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда время, в течении которого все $N$ молекул будут находится одновременно в части 1: | ||
| + | |||
| + | $$t=\frac{\tau}{2^{N}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $\textbf{а.}$ $t=\frac{\tau}{4}$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б.}$ $t=\frac{\tau}{8}$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ $t=\frac{\tau}{2^{N}}$ | ||
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.1.$ [Вставьте условие задачи] | $5.8.1.$ $\textbf{а.}$ Разделим сосуд вместимости $V$ на две одинаковые части 1 и 2. Пусть в этом сосуде движется одна молекула. Будем наблюдать за ней в течение времени $\tau$. В среднем половину этого времени молекула будет находиться в части 1 сосуда, а половину — в части 2. В течение какого времени в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, если в сосуде движутся две молекулы? | ||
| $\textbf{б.}$ В сосуде движутся три молекулы. В течение какого времени они будут находится одновременно в части 1? | |||
| $\textbf{в.}$ В сосуде движутся $N$ молекул. В течение какого времени они будут находится одновременно в части 1? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dff | $\textbf{а.}$ Для каждой молекулы вероятность находиться в части 1 в любой момент времени равна $\frac{1}{2}$. Так как молекулы движутся независимо, вероятность того, что обе молекулы одновременно окажутся в части 1, равна: | ||
| $$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ | |||
| С другой стороны эта вероятность равна отношению времени, в течении которого в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, ко всему времени наблюдения $\tau$: | |||
| $$p=\frac{t}{\tau}$$ | |||
| Приравнивая два выражения, получим: | |||
| $$\frac{t}{\tau}=\frac{1}{4}$$ | |||
| $$t=\frac{\tau}{4}$$ | |||
| $\textbf{б.}$ Вероятность того, что все три молекулы одновременно окажутся в части 1, равна: | |||
| $$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$ | |||
| Аналогично подзадаче $\textbf{а.}$ эта вероятность будет равна $p=\frac{t}{\tau}$, здесь $t$ - время в течении которого три молекулы будут находится одновременно в части 1: | |||
| $$t=\frac{\tau}{8}$$ | |||
| $\textbf{в.}$ Обобщим наш результат для $N$ молекул. Вероятность того, что все $N$ молекул одновременно окажутся в части 1, равна: | |||
| $$p=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\frac{1}{2^{N}}$$ | |||
| Тогда время, в течении которого все $N$ молекул будут находится одновременно в части 1: | |||
| $$t=\frac{\tau}{2^{N}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $\textbf{а.}$ $t=\frac{\tau}{4}$ | ||
| $\textbf{б.}$ $t=\frac{\tau}{8}$ | |||
| $\textbf{в.}$ $t=\frac{\tau}{2^{N}}$ | |||