Решение

$\textbf{а.}$ Для каждой молекулы вероятность находиться в части 1 в любой момент времени равна $\frac{1}{2}$. Так как молекулы движутся независимо, вероятность того, что обе молекулы одновременно окажутся в части 1, равна:

$$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

С другой стороны эта вероятность равна отношению времени, в течении которого в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, ко всему времени наблюдения $\tau$:

$$p=\frac{t}{\tau}$$

Приравнивая два выражения, получим:

$$\frac{t}{\tau}=\frac{1}{4}$$

$$t=\frac{\tau}{4}$$

$\textbf{б.}$ Вероятность того, что все три молекулы одновременно окажутся в части 1, равна:

$$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$

Аналогично подзадаче $\textbf{а.}$ эта вероятность будет равна $p=\frac{t}{\tau}$, здесь $t$ - время в течении которого три молекулы будут находится одновременно в части 1:

$$t=\frac{\tau}{8}$$

$\textbf{в.}$ Обобщим наш результат для $N$ молекул. Вероятность того, что все $N$ молекул одновременно окажутся в части 1, равна:

$$p=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\frac{1}{2^{N}}$$

Тогда время, в течении которого все $N$ молекул будут находится одновременно в части 1:

$$t=\frac{\tau}{2^{N}}$$