Edit to “Решение”
ru/5.8.3.md
+2 −2
| ### Условие | |||
| $5.8.3.$ В сосуде вместимостью $V_{0}$ находятся $N$ молекул. | |||
| $\textbf{а.}$ Определите вероятность того, что в объеме $V$, который представляет собой часть объема $V_{0}$, не будет ни одной молекулы. | |||
| $\textbf{б.}$ Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого события была близка к $10^{-2}$? | |||
| ### Решение | |||
| $\textbf{а.}$ Каждая молекула независимо распределена в $V_{0}$, поэтому вероятность обнаружить одну молекулу в объёме $V$ будет равна: | |||
| $$p^{'}=\frac{V}{V_{0}}$$ | |||
| Вероятность противоположного события, то есть не обнаружить одну молекулу в заданом объёме, будет равна: | |||
| $$p_{1}=1-p^{'}=1-\frac{V}{V_{0}}$$ | |||
| Вероятность не обнаружить одновременно две молекулы в заданом объёме будет: | |||
| @@ -20,9 +20,9 @@Решение | |||
| $$p_{2}=p_{1}\cdot p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{2}$$ | |||
| − | Вероятность не обнаружить одновременно $N$ молекулы в заданом объёме будет: | ||
| + | Вероятность не обнаружить одновременно $N$ молекулы в заданом объёме будет произведением $N$ множителей вероятности $p_{1}$: | ||
| − | $$p_{N}=p_{1}\cdots p_{1}= | ||
| + | $$p_{N}=p_{1}\cdots p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N} | ||
| \tag{1}$$ | |||
| $\textbf{б.}$ Если вероятность такого события равна $p_{N}=10^{-2}$, то объём найдем из выражения (1): | |||
| $$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$$ | |||
| Возведём в степень $\frac{1}{N}$: | |||
| $$1-\frac{V}{V_{0}}=10^{-\frac{2}{N}}$$ | |||
| Отсюда $V$: | |||
| $$V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $\textbf{а.}$ $p=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$ | |||
| $\textbf{б.}$ $V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$ | |||
| unchanged lines 16 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.3.$ В сосуде вместимостью $V_{0}$ находятся $N$ молекул. | $5.8.3.$ В сосуде вместимостью $V_{0}$ находятся $N$ молекул. | ||
| $\textbf{а.}$ Определите вероятность того, что в объеме $V$, который представляет собой часть объема $V_{0}$, не будет ни одной молекулы. | $\textbf{а.}$ Определите вероятность того, что в объеме $V$, который представляет собой часть объема $V_{0}$, не будет ни одной молекулы. | ||
| $\textbf{б.}$ Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого события была близка к $10^{-2}$? | $\textbf{б.}$ Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого события была близка к $10^{-2}$? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| $\textbf{а.}$ Каждая молекула независимо распределена в $V_{0}$, поэтому вероятность обнаружить одну молекулу в объёме $V$ будет равна: | $\textbf{а.}$ Каждая молекула независимо распределена в $V_{0}$, поэтому вероятность обнаружить одну молекулу в объёме $V$ будет равна: | ||
| $$p^{'}=\frac{V}{V_{0}}$$ | $$p^{'}=\frac{V}{V_{0}}$$ | ||
| Вероятность противоположного события, то есть не обнаружить одну молекулу в заданом объёме, будет равна: | Вероятность противоположного события, то есть не обнаружить одну молекулу в заданом объёме, будет равна: | ||
| $$p_{1}=1-p^{'}=1-\frac{V}{V_{0}}$$ | $$p_{1}=1-p^{'}=1-\frac{V}{V_{0}}$$ | ||
| Вероятность не обнаружить одновременно две молекулы в заданом объёме будет: | Вероятность не обнаружить одновременно две молекулы в заданом объёме будет: | ||
| @@ -20,9 +20,9 @@Решение | |||
| $$p_{2}=p_{1}\cdot p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{2}$$ | $$p_{2}=p_{1}\cdot p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{2}$$ | ||
| Вероятность не обнаружить одновременно $N$ молекулы в заданом объёме будет: | Вероятность не обнаружить одновременно $N$ молекулы в заданом объёме будет произведением $N$ множителей вероятности $p_{1}$: | ||
| $$p_{N}=p_{1}\cdots p_{1}= |
$$p_{N}=p_{1}\cdots p_{1}=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N} | ||
| \tag{1}$$ | \tag{1}$$ | ||
| $\textbf{б.}$ Если вероятность такого события равна $p_{N}=10^{-2}$, то объём найдем из выражения (1): | $\textbf{б.}$ Если вероятность такого события равна $p_{N}=10^{-2}$, то объём найдем из выражения (1): | ||
| $$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$$ | $$\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}=10^{-2}$$ | ||
| Возведём в степень $\frac{1}{N}$: | Возведём в степень $\frac{1}{N}$: | ||
| $$1-\frac{V}{V_{0}}=10^{-\frac{2}{N}}$$ | $$1-\frac{V}{V_{0}}=10^{-\frac{2}{N}}$$ | ||
| Отсюда $V$: | Отсюда $V$: | ||
| $$V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$$ | $$V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $\textbf{а.}$ $p=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$ | $\textbf{а.}$ $p=\left( 1-\frac{V}{V_{0}} \right)^{N}$ | ||
| $\textbf{б.}$ $V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$ | $\textbf{б.}$ $V=V_{0}\left( 1-10^{-\frac{2}{N}} \right)$ | ||
| unchanged lines 16 | |||