Решение

Центростремительное ускорение для объекта, движущегося по круговой орбите радиуса $r$ с линейной скоростью $\upsilon$, определяется формулой:

$$a_{c}=\frac{\upsilon^{2}}{r} \tag{1}$$

Орбитальная скорость Луны:

$$\upsilon=\frac{2\pi r}{T} \tag{2}$$

Подставим (2) в (1):

$$a_{c}=\frac{\left( \frac{2\pi r}{T} \right)^{2}}{r}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}} \tag{3}$$

По закону всемирного тяготения ускорение на расстоянии $r$ от центра Земли определяется так:

$$a_{g}=\frac{GM_{З}}{r^{2}}$$

На поверхности Земли ускорение свободного падения:

$$g=\frac{GM_{З}}{R^{2}}$$

Отсюда:

$$a_{g}=g\frac{R^{2}}{r^{2}} \tag{4}$$

Для сравнения этих ускорений найдём относительную погрешность этих величин:

$$\varepsilon=\frac{a_{c}-a_{g}}{a_{g}}\cdot 100\text{%}$$
$$\varepsilon=\left( \frac{4\pi^{2}r^{3}}{gT^{2}R^{2}}-1 \right)\cdot 100\text{%}$$

Подставим числовые значения величин в системе СИ и получим:

$$\varepsilon=1,8\text{%}$$

Небольшое отличие в ускорениях связано с тем, что система Луна-Земля вращаются не вокруг центра Земли, а вокруг барицентра - общий центр масс системы Луна-Земля.