Edits to “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14119 parent #14118 ← older
ru/3.1.13.md +11 −11
@@ -32,31 +32,31 @@Решение
Запишем закон сохранения энергии для двух положений тела: когда на тело только положили грузик и когда тело с грузиком имеет максимальную скорость.
−$$(m+\Delta m)gR+\frac{kqQ}{R}=(m+\Delta m)g(R-x_{0})+\frac{kqQ}{R-x_{0}}+\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon^{2}$$
−$$(m+\Delta m)gx_{0}-kqQ\frac{x_{0}}{R(R-x_{0})}=\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon^{2}$$
+$$(m+\Delta m)gR+\frac{kqQ}{R}=(m+\Delta m)g(R-x_{0})+\frac{kqQ}{R-x_{0}}+\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon_{макс}^{2}$$
+$$(m+\Delta m)gx_{0}-kqQ\frac{x_{0}}{R(R-x_{0})}=\frac{1}{2}(m+\Delta m)\upsilon_{макс}^{2}$$
−Выразим $\upsilon^{2}$:
+Выразим $\upsilon_{макс}^{2}$:
−$$\upsilon^{2}=2gx_{0}-\frac{2kqQ}{m+\Delta m}\cdot \frac{x_{0}}{R(R-x_{0})} \tag{5}$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=2gx_{0}-\frac{2kqQ}{m+\Delta m}\cdot \frac{x_{0}}{R(R-x_{0})} \tag{5}$$
Подставим (1) и (4) в (5):
−$$\upsilon^{2}=2g\frac{\Delta mR}{2m}-\frac{2mgR^{2}}{m+\Delta m}\cdot \frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R^{2}(1-\frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R})}$$
−$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta mgR}{m\left( 1+\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m} \right)}$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=2g\frac{\Delta mR}{2m}-\frac{2mgR^{2}}{m+\Delta m}\cdot \frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R^{2}(1-\frac{\frac{\Delta mR}{2m}}{R})}$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta mgR}{m\left( 1+\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m} \right)}$$
Поскольку $\Delta m\ll m$ опять воспользуемся разложением в ряд функции $\left( 1-x \right)^{-\alpha}\approx 1+\alpha x$:
−$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m} \right)$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{m} \right)\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m} \right)$$
Раскроем скобки и ограничимся первым порядком малой величины $\Delta m$:
−$$\upsilon^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m}-\frac{\Delta m}{m} \right)=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m}\right)$$
−$$\upsilon^{2}=\left( \frac{\Delta m}{m} \right)^{2}\frac{gR}{2}$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1+\frac{\Delta m}{2m}-\frac{\Delta m}{m} \right)=\frac{\Delta m}{m}gR-\frac{\Delta m}{m}gR\cdot \left( 1-\frac{\Delta m}{2m}\right)$$
+$$\upsilon_{макс}^{2}=\left( \frac{\Delta m}{m} \right)^{2}\frac{gR}{2}$$
Окончательно:
−$$\upsilon=\frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}}$$
+$$\upsilon_{макс}=\frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}}$$
#### Ответ
−$\upsilon=\frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}}$
+$\upsilon_{макс}=\frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}}$