3.6.27∗. Определите скорость волн на «мелкой воде», т. е. волн, длина которых много больше глубины водоема $h$. Изменение уровня воды за счет возмущения мал´о по сравнению с $h$.
К задаче $3.6.27$
Решение
Рассмотрим движение волны за время $\Delta t$. Волновой фронт за этот промежуток времени переместится на расстояние $c\Delta t$, где $c$ - скорость волнового фронта. Поток частиц будет двигаться со скоростью $v$, тогда частицы пройдут расстояние $v\Delta t$.
Рассмотрим некоторую массу воды $\Delta m$, вовлечённую в волновой процесс, с площадью поперечного сечения $S$.$$\Delta m = \rho Sc\Delta t \quad \Rightarrow \quad v\Delta m = v\rho Sc\Delta t$$
Согласно закону сохранения импульса:
$$v\Delta m = v\rho Sc\Delta t = F\Delta t \quad \Rightarrow \quad v\rho Sc = F$$
С другой стороны, сила будет равна:
$$F = \rho g \Delta h S$$
Поэтому получим:
$$vc = g\Delta h$$
Объёмы участков $c\Delta t$ и $v\Delta t$ можно выразить следущим образом:
$$v\Delta t S = S \Delta h \quad c\Delta t S = Sh$$
Откуда мы можем получить отношение:
$$\frac{v}{c} = \frac{\Delta h}{h}$$
Подставляя $\Delta h$ в выражение $vc = g\Delta h$, получим:
$$c = \sqrt{gh}$$
