Решение

После замыкания ключа $\boldsymbol{K_1}$

Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура:

$$L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:

$$\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.$$

Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:

$$i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).$$

где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.

Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:

$$0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),$$

откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:

$$i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}$$

Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:

$$q=\int-I_\text{max}\sin(\omega t)\,dt=-\frac{I_\text{max}}{\omega}\int\sin(\omega t)\,d\omega t=\frac{I_\text{max}}{\omega}\cos(\omega t).$$

Получается, что максимум $I_\text{max}$ мы можем найти из этой формулы с учетом $t=0$ и $q=CV_0$:

$$CV_0=\frac{I_\text{max}}{\omega}\quad \Rightarrow\quad I_\text{max}=\omega CV_0.$$

После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$

Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:

$$L\frac{di}{dt}+iR=0.$$

Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:

$$i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},$$

где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.

Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:

$$u=R\cdot i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}=R\omega CV_0e^{-\tfrac{R}{L}t},$$

Как видно, напряжение $u$ монотонно падает со временем, так что максимум напряжения на резисторе оказывается при нулевом $t$:

$$U_\text{max}=R\omega CV_0=V_0R\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot C=V_0 R\sqrt{\frac{C}{L}}.$$