$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
$$
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
$$
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:
$$
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).
$$
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
$$
откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
#### После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$
+
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
+
$$
+
L\frac{di}{dt}+iR=0.
+
$$
+
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:
+
$$
+
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
+
$$
+
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
+
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
$$
$$
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
$$
$$
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция:
$$
$$
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi).
$$
$$
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
$$
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
$$
$$
откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
$$
Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
#### После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
$$
L\frac{di}{dt}+iR=0.
$$
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:
$$
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
$$
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
