Решение

Электрон массой $m$ и зарядом $−e$ вращается по круговой орбите вокруг ядра с зарядом $Ze$. Его удерживает кулоновская сила:

$$F=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$

Эта сила обеспечивает центростремительное ускорение:

$$F=m\frac{\upsilon^{2}}{r}$$

Приравниваем:

$$m\frac{\upsilon^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$

Отсюда:

$$\upsilon^{2}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}$$

Полная энергия электрона:

$$E=K+U$$

Кинетическая энергия электрона:

$$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}m\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}mr}=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$

Потенциальная энергия (отрицательная, так как заряды разноименные):

$$U=-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$

Итак, полная энергия:

$$E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}-\frac{Ze^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}=-\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$

Орбита электрона станет незамкнутой (электрон оторвётся от ядра), когда его полная механическая энергия перестанет быть отрицательной. Для этого электрону необходимо сообщить дополнительную минимальную энергию:

$$E+K_{min}=0$$
$$K_{min}=-E=\frac{Ze^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$