| Когда капли начинают падать внутрь шара, каждая новая капля сталкивается с электростатическим отталкиванием от уже накопленного заряда на шаре. | | Когда капли начинают падать внутрь шара, каждая новая капля сталкивается с электростатическим отталкиванием от уже накопленного заряда на шаре. |
| | | |
| Если шар — идеальный, изолированный проводник, то его заряд распределяется по внешней поверхности. При попадании капли внутрь она передаёт свой заряд шару, и с ростом общего заряда шара растёт электрический потенциал шара, который создаёт электрическое поле, отталкивающее новые заряженные капли. Внутри металлического проводника в электростатическом равновесии электрическое поле равно нулю, и весь заряд оказывается на поверхности, то есть электростатически шар можно рассматривать как заряженную сферу. Процесс передачи каплей воды своего заряда можно считать мгновенным по сравнению с процессом капания капель. | | Если шар — идеальный, изолированный проводник, то его заряд распределяется по внешней поверхности. При попадании капли внутрь она передаёт свой заряд шару, и с ростом общего заряда шара растёт электрический потенциал шара, который создаёт электрическое поле, отталкивающее новые заряженные капли. Внутри металлического проводника в электростатическом равновесии электрическое поле равно нулю, и весь заряд оказывается на поверхности, то есть электростатически шар можно рассматривать как заряженную сферу. Процесс передачи каплей воды своего заряда можно считать мгновенным по сравнению с процессом капания капель. |
| | | |
| Чтобы новая капля достигла шара, её кинетическая энергия при падении с высоты $h$ должна быть не меньше работы против электрического поля шара. Стоит отметить, когда шар ещё не заполнен водой полностью, то капле достаточно долететь до шара, внутри шара напряжённость электрического поля равна 0 и капля внутри шара движется лишь под действием силы гравитации. | | Чтобы новая капля достигла шара, её кинетическая энергия при падении с высоты $h$ должна быть не меньше работы против электрического поля шара. Стоит отметить, когда шар ещё не заполнен водой полностью, то капле достаточно долететь до шара, внутри шара напряжённость электрического поля равна 0 и капля внутри шара движется лишь под действием силы гравитации. |
| | | |
| Итак, $h$ - это высота капельницы над поверхностью шара. Критерием минимальности высоты будет то обстоятельство, что капля достигает поверхности шара с нулевой скоростью - вся потенциальная энергия гравитационного взаимодействия массы капли с Землей идёт на преодоление сил электростатического взаимодействия заряда капли с одноименным зарядом шара. Мы здесь пренебрегаем толщиной стенок полого шара. | | Итак, $h$ - это высота капельницы над поверхностью шара. Критерием минимальности высоты будет то обстоятельство, что капля достигает поверхности шара с нулевой скоростью - вся потенциальная энергия гравитационного взаимодействия массы капли с Землей идёт на преодоление сил электростатического взаимодействия заряда капли с одноименным зарядом шара. Мы здесь пренебрегаем толщиной стенок полого шара. |
| | | |
| Запишем закон сохранения энергии для процесса падения капли массы $m$ с зарядом $q$: | | Запишем закон сохранения энергии для процесса падения капли массы $m$ с зарядом $q$: |
| | | |
| $$mgh=q\left[ \varphi(R)-\varphi(R+h) \right]$$ | | $$mgh=q\left[ \varphi(R)-\varphi(R+h) \right]$$ |
| | | |
| где $\varphi(R)$ это потенциал сферы радиуса $R$ на её поверхности, а $\varphi(R+h)$ это потенциал, которая заряженная сфера создаёт на расстоянии $h$ от её поверхности (на уровне начала падения капель). | | где $\varphi(R)$ это потенциал сферы радиуса $R$ на её поверхности, а $\varphi(R+h)$ это потенциал, которая заряженная сфера создаёт на расстоянии $h$ от её поверхности (на уровне начала падения капель). |
| | | |
| Электрический потенциал в некоторой точке $r$ вне шара (электростатически у нас полая сфера) с полным зарядом $Q$: | | Электрический потенциал в некоторой точке $r$ вне шара (электростатически у нас полая сфера) с полным зарядом $Q$: |
| | | |
| $$\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}$$ | | $$\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}$$ |
| | | |
| Тогда закон сохранения энергии запишем: | | Тогда закон сохранения энергии запишем: |
| | | |
| $$mgh=q\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R+h} \right]$$ | | $$mgh=q\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R+h} \right]$$ |
| | | |
| Преобразуем: | | Преобразуем: |
| | | |
| $$mgh=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \left( \frac{1}{R}-\frac{1}{R+h} \right)=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{h}{R(R+h)}$$ | | $$mgh=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \left( \frac{1}{R}-\frac{1}{R+h} \right)=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{h}{R(R+h)}$$ |
| | | |
| $h\neq 0$ поскольку нас не интересует вариант, когда капельница стоит прямо над отверстием в шаре, тогда: | | $h\neq 0$ поскольку нас не интересует вариант, когда капельница стоит прямо над отверстием в шаре, тогда: |
| | | |
| $$mg=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R(R+h)} \tag{1}$$ | | $$mg=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R(R+h)} \tag{1}$$ |
| | | |
| Массу капли воды выразим через плотность воды и объём капли: | | Массу капли воды выразим через плотность воды и объём капли: |
| | | |
| $$m=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$ | | $$m=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$ |
| | | |
| По закону сохранения заряда: $Q=Nq$, где $N$ - число капель нужных, чтобы заполнить шар водой. Это число можно найти из отношения объёмов шара к капле: | | По закону сохранения заряда: $Q=Nq$, где $N$ - число капель нужных, чтобы заполнить шар водой. Это число можно найти из отношения объёмов шара к капле: |
| | | |
| $$N=\frac{V_{шара}}{V_{капля}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\left( \frac{R}{r} \right)^{3}$$ | | $$N=\frac{V_{шара}}{V_{капля}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\left( \frac{R}{r} \right)^{3}$$ |
| | | |
| Подставим $m$ и $Q$ в выражение (1): | | Подставим $m$ и $Q$ в выражение (1): |
| | | |
| $$\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}g=\frac{q\left( \frac{R}{r} \right)^{3}q}{4\pi\varepsilon_{0}R(R+h)}$$ | | $$\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}g=\frac{q\left( \frac{R}{r} \right)^{3}q}{4\pi\varepsilon_{0}R(R+h)}$$ |
| | | |
| Преобразуем: | | Преобразуем: |
| | | |
| $$\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}g=\frac{q^{2}R^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}(R+h)}$$ | | $$\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}g=\frac{q^{2}R^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}(R+h)}$$ |
| $$R+h=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$$ | | $$R+h=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$$ |
| | | |
| Расстояние $R+h$ это высота размещения капельницы, но только отсчитанная не от поверхности шара, а от центра шара: $H=R+h$. В этом случае минимальная высота будет: | | Расстояние $R+h$ это высота размещения капельницы, но только отсчитанная не от поверхности шара, а от центра шара: $H=R+h$. В этом случае минимальная высота будет: |
| | | |
| $$H=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$$ | | $$H=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $H=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$, где $H$ отсчитывается от центра шара. | | $H=\frac{3q^{2}R^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}\rho gr^{6}}$, где $H$ отсчитывается от центра шара. |
