Решение

Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней могут применяться законы сохранения массы, импульса и энергии. Обозначим через $m_{1}$ и $m_{2}$ - массы осколков, $\vec \upsilon_{1}$ и $\vec \upsilon_{2}$ их скорости относительно неподвижной системы отсчёта. Масса частицы до распада обозначим $m$ (по закону сохранения массы $m=m_{1}+m_{2}$), а её скорость $\vec \upsilon$ относительно неподвижной системы отсчёта. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. В данной системе отсчёта центр масс покоится, то есть первоначальный импульс системы равен 0. Закон сохранения импульса в этой системе отсчёта будет иметь вид:

$$\vec 0=m_{1}\vec \upsilon_{1C}+m_{2}\vec \upsilon_{2C}$$

здесь $\vec \upsilon_{1C}$ и $\vec \upsilon_{2C}$ скорости осколков относительно центра масс. В проекции на ось, проходящую через осколки, векторное уравнение примет вид:

$$m_{1}\upsilon_{1C}=m_{2}\upsilon_{2C} \tag{1}$$

Согласно правилу сложения скоростей Галилея:

$$\vec \upsilon_{1}=\vec \upsilon_{1C}+\vec \upsilon$$

Если мы на конце вектора $\vec \upsilon$ проведём окружность радиусом $\vec \upsilon_{1C}$, то угол $\alpha_{1}$ будет максимальным при условии, что вектор $\vec \upsilon_{1}$ будет касательным к этой окружности. По теореме синусов для прямоугольного треугольника можно записать:

$$\upsilon_{1C}=\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{2}$$

С использованием (1) получим:

$$\upsilon_{2C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon_{1C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{3}$$

Запишем закон сохранения энергии в нашей системе отсчёта, связанной с центром масс системы. Так как центр масс покоится в этой системе отсчёта, то вся энергия, выделяемая при распаде, идёт на приращение кинетической энергии осколков:

$$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1C}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2C}^{2} \tag{4}$$

Подставим (2) и (3) в (4):

$$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}+\frac{1}{2}m_{2}\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}\left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}} \right)$$
$$E=\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1}) \tag{5}$$

Аналогично можно выразить данную энергию через $\upsilon_{2}$ и $\alpha_{2}$. Но чтобы не проводить те же самые выкладки, воспользуемся тем фактом, что выражения (1) и (4) симметричны относительно перестановки индексов $1\Leftrightarrow 2$, тогда сразу запишем:

$$E=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2}) \tag{6}$$

Приравняем (5) и (6):

$$\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1})=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})$$
$$\frac{\sin^{2}\alpha_{1}}{\sin^{2}\alpha_{2}}=\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}$$
$$\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \tag{7}$$

Подставим (7) в (6):

$$E=\frac{\sin\alpha_{1}}{2\sin\alpha_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2} \tag{8}$$

По условию задачи нам дана кинетическая энергия частицы до распада:

$$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}$$

Тогда выражение (8) можем переписать через $K$:

$$E=K\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}$$