| Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней могут применяться законы сохранения массы, импульса и энергии. Обозначим через $m_{1}$ и $m_{2}$ - массы осколков, $\vec \upsilon_{1}$ и $\vec \upsilon_{2}$ их скорости относительно неподвижной системы отсчёта. Масса частицы до распада обозначим $m$ (по закону сохранения массы $m=m_{1}+m_{2}$), а её скорость $\vec \upsilon$ относительно неподвижной системы отсчёта. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. В данной системе отсчёта центр масс покоится, то есть первоначальный импульс системы равен 0. Закон сохранения импульса в этой системе отсчёта будет иметь вид: | | Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней могут применяться законы сохранения массы, импульса и энергии. Обозначим через $m_{1}$ и $m_{2}$ - массы осколков, $\vec \upsilon_{1}$ и $\vec \upsilon_{2}$ их скорости относительно неподвижной системы отсчёта. Масса частицы до распада обозначим $m$ (по закону сохранения массы $m=m_{1}+m_{2}$), а её скорость $\vec \upsilon$ относительно неподвижной системы отсчёта. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. В данной системе отсчёта центр масс покоится, то есть первоначальный импульс системы равен 0. Закон сохранения импульса в этой системе отсчёта будет иметь вид: |
| | | |
| $$\vec 0=m_{1}\vec \upsilon_{1C}+m_{2}\vec \upsilon_{2C}$$ | | $$\vec 0=m_{1}\vec \upsilon_{1C}+m_{2}\vec \upsilon_{2C}$$ |
| | | |
| здесь $\vec \upsilon_{1C}$ и $\vec \upsilon_{2C}$ скорости осколков относительно центра масс. В проекции на ось, проходящую через осколки, векторное уравнение примет вид: | | здесь $\vec \upsilon_{1C}$ и $\vec \upsilon_{2C}$ скорости осколков относительно центра масс. В проекции на ось, проходящую через осколки, векторное уравнение примет вид: |
| | | |
| $$m_{1}\upsilon_{1C}=m_{2}\upsilon_{2C} \tag{1}$$ | | $$m_{1}\upsilon_{1C}=m_{2}\upsilon_{2C} \tag{1}$$ |
| | | |
| Согласно правилу сложения скоростей Галилея: | | Согласно правилу сложения скоростей Галилея: |
| | | |
| $$\vec \upsilon_{1}=\vec \upsilon_{1C}+\vec \upsilon$$ | | $$\vec \upsilon_{1}=\vec \upsilon_{1C}+\vec \upsilon$$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Если мы на конце вектора $\vec \upsilon$ проведём окружность радиусом $\vec \upsilon_{1C}$, то угол $\alpha_{1}$ будет максимальным при условии, что вектор $\vec \upsilon_{1}$ будет касательным к этой окружности. По теореме синусов для прямоугольного треугольника можно записать: | | Если мы на конце вектора $\vec \upsilon$ проведём окружность радиусом $\vec \upsilon_{1C}$, то угол $\alpha_{1}$ будет максимальным при условии, что вектор $\vec \upsilon_{1}$ будет касательным к этой окружности. По теореме синусов для прямоугольного треугольника можно записать: |
| | | |
| $$\upsilon_{1C}=\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{2}$$ | | $$\upsilon_{1C}=\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{2}$$ |
| | | |
| С использованием (1) получим: | | С использованием (1) получим: |
| | | |
| $$\upsilon_{2C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon_{1C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{3}$$ | | $$\upsilon_{2C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon_{1C}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\upsilon \sin\alpha_{1} \tag{3}$$ |
| | | |
| Запишем закон сохранения энергии в нашей системе отсчёта, связанной с центром масс системы. Так как центр масс покоится в этой системе отсчёта, то вся энергия, выделяемая при распаде, идёт на приращение кинетической энергии осколков: | | Запишем закон сохранения энергии в нашей системе отсчёта, связанной с центром масс системы. Так как центр масс покоится в этой системе отсчёта, то вся энергия, выделяемая при распаде, идёт на приращение кинетической энергии осколков: |
| | | |
| $$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1C}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2C}^{2} \tag{4}$$ | | $$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1C}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2C}^{2} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим (2) и (3) в (4): | | Подставим (2) и (3) в (4): |
| | | |
| $$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}+\frac{1}{2}m_{2}\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}\left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}} \right) $$ | | $$E=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}+\frac{1}{2}m_{2}\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}\upsilon^{2} \sin^{2}\alpha_{1}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}\left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}} \right) $$ |
| $$E=\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1}) \tag{5}$$ | | $$E=\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1}) \tag{5}$$ |
| | | |
| Аналогично можно выразить данную энергию через $\upsilon_{2}$ и $\alpha_{2}$. Но чтобы не проводить те же самые выкладки, воспользуемся тем фактом, что выражения (1) и (4) симметричны относительно перестановки индексов $1\Leftrightarrow 2$, тогда сразу запишем: | | Аналогично можно выразить данную энергию через $\upsilon_{2}$ и $\alpha_{2}$. Но чтобы не проводить те же самые выкладки, воспользуемся тем фактом, что выражения (1) и (4) симметричны относительно перестановки индексов $1\Leftrightarrow 2$, тогда сразу запишем: |
| | | |
| $$E=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2}) \tag{6}$$ | | $$E=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2}) \tag{6}$$ |
| | | |
| Приравняем (5) и (6): | | Приравняем (5) и (6): |
| | | |
| $$\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1})=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})$$ | | $$\frac{m_{1}}{2m_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{1}( m_{2}+m_{1})=\frac{m_{2}}{2m_{1}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})$$ |
| $$\frac{\sin^{2}\alpha_{1}}{\sin^{2}\alpha_{2}}=\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}$$ | | $$\frac{\sin^{2}\alpha_{1}}{\sin^{2}\alpha_{2}}=\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}$$ |
| $$\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \tag{7}$$ | | $$\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}} \tag{7}$$ |
| | | |
| Подставим (7) в (6): | | Подставим (7) в (6): |
| | | |
| $$E=\frac{\sin\alpha_{1}}{2\sin\alpha_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2} \tag{8}$$ | | $$E=\frac{\sin\alpha_{1}}{2\sin\alpha_{2}}\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha_{2}( m_{1}+m_{2})=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2} \tag{8}$$ |
| | | |
| По условию задачи нам дана кинетическая энергия частицы до распада: | | По условию задачи нам дана кинетическая энергия частицы до распада: |
| | | |
| $$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}$$ | | $$K=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})\upsilon^{2}$$ |
| | | |
| Тогда выражение (8) можем переписать через $K$: | | Тогда выражение (8) можем переписать через $K$: |
| | | |
| $$E=K\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}$$ | | $$E=K\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $E=K\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}$ | | $E=K\sin\alpha_{1}\sin\alpha_{2}$ |
