| @@ -1,54 +1,75 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $7.1.22^*.$ Найдите частоту малых колебаний математического маятника относительно его нижнего положения равновесия, если непосредственно под равновесным положением шарика на расстоянии $h$ от него закреплен заряд $Q$. Длина |
| $7.1.22^*.$ Найдите частоту малых колебаний математического маятника относительно его нижнего положения равновесия, если непосредственно под равновесным положением шарика на расстоянии $h$ от него закреплен заряд $Q$. Длина нити $l$, масса шарика $m$, заряд $q$. |
| нити $l$, масса шарика $m$, заряд $q$. |
| |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Рассмотрим максимальное отклонение от положения равновесия на угол $\alpha$. Причём $\alpha\rightarrow0$. Колебания будут существовать при существовании устойчивого равновесия: |
| Рассмотрим максимальное отклонение от положения равновесия на угол $\alpha$. Причём $\alpha\rightarrow0$. Колебания будут существовать при существовании устойчивого равновесия: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| M_{mg} + M_{T} + M_{F_{К}} > 0 |
| M_{mg} + M_{T} + M_{F_{К}} > 0 |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Момент силы натяжения нити равен: |
| Момент силы натяжения нити равен: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| M_{T} = 0 |
| M_{T} = 0 |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Момент силы тяжести равен: |
| Момент силы тяжести равен: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| M_{mg} = mglsin\alpha |
| M_{mg} = mgl\sin\alpha |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Момент силы Кулона равен: |
| Момент силы Кулона равен: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| M_{F_{К}} = -F_{К}l\frac{l+h}{h}sin\alpha |
| M_{F_{К}} = -F_{К}l\frac{l+h}{h}\sin\alpha |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| где $F_{К} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{qQ}{h^2}$ |
| где $F_{К} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{qQ}{h^2}$ |
| |
| |
| В итоге мы получим условие существования колебаний: |
| В итоге мы получим условие существования колебаний: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| mg > \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{h^3} |
| mg > \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{h^3} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Рассмотрим колебания на горизонтальной оси $x$: |
| Рассмотрим колебания на горизонтальной оси $x$: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| ma_x = F_{К}\frac{l}{h}sin\alpha - Tsin\alpha |
| ma_x = F_{К}\frac{l}{h}\sin\alpha - T\sin\alpha |
| $$ |
| $$ |
| где $sin\alpha = \frac{x}{l}$ |
| |
| |
| где $\sin\alpha = \frac{x}{l}$ |
| |
| |
| Так как колебания малые, то: |
| Так как колебания малые, то: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| T \approx mg - F_{К} |
| T \approx mg - F_{К} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| И найдём проекцию ускорения на ось $x$: |
| И найдём проекцию ускорения на ось $x$: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| a_x = -x(\frac{g}{l} - \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}) |
| a_x = -x\left(\frac{g}{l} - \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}\right) |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Из уравнения гармонических колебаний следует: |
| Из уравнения гармонических колебаний следует: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| a_x = -\omega^2x |
| a_x = -\omega^2x |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| Тогда получим ответ: |
| Тогда получим ответ: |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \omega = \sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}} |
| \omega = \sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}}$ при $mg > \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{h^3}$ |
| $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}}$ при $mg > \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{h^3}$ |
