Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14266 parent #14265 ← older
ru/4.3.18.md +30 −3
@@ -1,11 +1,38 @@
### Условие
−$4.3.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.3.18.$ Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда $S$, сечение струи $s$. Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускорение.
+
### Решение
−sdf
+Обозначим скорость, с которой вода вытекает из сосуда - $\upsilon(t)$, а скорость, с которой перемещается уровень воды - $u(t)$. Также обозначим, что высота уровня воды - $h(t)$, тогда $u(t)=\frac{dh}{dt}$. Искомое ускорение: $a=\frac{d u}{dt}$.
+Запишем уравнение непрерывности:
+
+$$s\upsilon=Su$$
+
+Дифференцируем по времени обе части:
+
+$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{d \upsilon}{dt} \tag{1}$$
+
+Скорость вытекания воды из сосуда определяется формулой Торричелли:
+
+$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$
+
+Продифференцируем по времени эту функциональную зависимость, как сложную функцию:
+
+$$\frac{d \upsilon}{dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2g}{\sqrt{2gh}}\cdot \frac{d h}{dt}=\frac{g}{\upsilon}u$$
+
+Подставим выражение для $\frac{d \upsilon}{dt}$ в (1):
+
+$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{g}{\upsilon}u \tag{2}$$
+
+Но $a=\frac{d u}{dt}$, а отношение скоростей из уравнения непрерывности: $\frac{u}{\upsilon}=\frac{s}{S}$
+
+Тогда выражение (2) можно переписать так:
+
+$$a=\frac{s}{S}\cdot g\cdot \frac{s}{S}=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$a=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$