Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 14 апр. 2025 г., 16:57

правка #14266 предыдущая #14265 ← раньше

ru/4.3.18.md +30 −3

		@@ -1,11 +1,38 @@
			### Условие

		−	$4.3.18.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$4.3.18.$ Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда $S$, сечение струи $s$. Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускорение.

		+
			### Решение

		−	sdf
		+	Обозначим скорость, с которой вода вытекает из сосуда - $\upsilon(t)$, а скорость, с которой перемещается уровень воды - $u(t)$. Также обозначим, что высота уровня воды - $h(t)$, тогда $u(t)=\frac{dh}{dt}$. Искомое ускорение: $a=\frac{d u}{dt}$.

		+	Запишем уравнение непрерывности:
		+
		+	$$s\upsilon=Su$$
		+
		+	Дифференцируем по времени обе части:
		+
		+	$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{d \upsilon}{dt} \tag{1}$$
		+
		+	Скорость вытекания воды из сосуда определяется формулой Торричелли:
		+
		+	$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$
		+
		+	Продифференцируем по времени эту функциональную зависимость, как сложную функцию:
		+
		+	$$\frac{d \upsilon}{dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2g}{\sqrt{2gh}}\cdot \frac{d h}{dt}=\frac{g}{\upsilon}u$$
		+
		+	Подставим выражение для $\frac{d \upsilon}{dt}$ в (1):
		+
		+	$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{g}{\upsilon}u \tag{2}$$
		+
		+	Но $a=\frac{d u}{dt}$, а отношение скоростей из уравнения непрерывности: $\frac{u}{\upsilon}=\frac{s}{S}$
		+
		+	Тогда выражение (2) можно переписать так:
		+
		+	$$a=\frac{s}{S}\cdot g\cdot \frac{s}{S}=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$a=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$

	@@ -1,11 +1,38 @@
	### Условие		### Условие

	$4.3.18.$ [Вставьте условие задачи]		$4.3.18.$ Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда $S$, сечение струи $s$. Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускорение.


	### Решение		### Решение

	sdf		Обозначим скорость, с которой вода вытекает из сосуда - $\upsilon(t)$, а скорость, с которой перемещается уровень воды - $u(t)$. Также обозначим, что высота уровня воды - $h(t)$, тогда $u(t)=\frac{dh}{dt}$. Искомое ускорение: $a=\frac{d u}{dt}$.

			Запишем уравнение непрерывности:

			$$s\upsilon=Su$$

			Дифференцируем по времени обе части:

			$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{d \upsilon}{dt} \tag{1}$$

			Скорость вытекания воды из сосуда определяется формулой Торричелли:

			$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$

			Продифференцируем по времени эту функциональную зависимость, как сложную функцию:

			$$\frac{d \upsilon}{dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2g}{\sqrt{2gh}}\cdot \frac{d h}{dt}=\frac{g}{\upsilon}u$$

			Подставим выражение для $\frac{d \upsilon}{dt}$ в (1):

			$$\frac{d u}{dt}=\frac{s}{S}\cdot \frac{g}{\upsilon}u \tag{2}$$

			Но $a=\frac{d u}{dt}$, а отношение скоростей из уравнения непрерывности: $\frac{u}{\upsilon}=\frac{s}{S}$

			Тогда выражение (2) можно переписать так:

			$$a=\frac{s}{S}\cdot g\cdot \frac{s}{S}=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$a=g\left( \frac{s}{S} \right)^{2}$$