| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $6.6.9.$ Два одинаковых конденсатора заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Конденсаторы соединены друг с другом параллельно и заряжены до разности потенциалов $V$. Как изменится разность потенциалов, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? Как изменится разность потенциалов в батарее из $n$ одинаковых параллельно соединенных конденсаторов, заряженной до разности потенциалов $V$, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? |
| $6.6.9.$ Два одинаковых конденсатора заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Конденсаторы соединены друг с другом параллельно и заряжены до разности потенциалов $V$. Как изменится разность потенциалов, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? Как изменится разность потенциалов в батарее из $n$ одинаковых параллельно соединенных конденсаторов, заряженной до разности потенциалов $V$, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Каждый конденсатор имеет ёмкость $C=\varepsilon C_{0}$, где $C_{0}$ - ёмкость без диэлектрика. При параллельном соединении их общая ёмкость будет суммой составных ёмкостей: $C_{общ}=2\varepsilon C_{0}$. Они заряжены до напряжения $V$, значит полный заряд: | | Каждый конденсатор имеет ёмкость $C=\varepsilon C_{0}$, где $C_{0}$ - ёмкость без диэлектрика. При параллельном соединении их общая ёмкость будет суммой составных ёмкостей: $C_{общ}=2\varepsilon C_{0}$. Они заряжены до напряжения $V$, значит полный заряд: |
| | | |
| $$Q=C_{общ}V=2\varepsilon C_{0}V$$ | | $$Q=C_{общ}V=2\varepsilon C_{0}V$$ |
| | | |
| Теперь из одного конденсатора вытек диэлектрик, его ёмкость стала $C_{0}$. Система теперь состоит из одного конденсатора с $C_{0}$ другого с $\varepsilon C_{0}$. Общая ёмкость: | | Теперь из одного конденсатора вытек диэлектрик, его ёмкость стала $C_{0}$. Система теперь состоит из одного конденсатора с $C_{0}$ другого с $\varepsilon C_{0}$. Общая ёмкость: |
| | | |
| $$C_{общ}^{'}=C_{0}+\varepsilon C_{0}=C_{0}(\varepsilon+1)$$ | | $$C_{общ}^{'}=C_{0}+\varepsilon C_{0}=C_{0}(\varepsilon+1)$$ |
| | | |
| Так как заряд сохраняется (система изолирована): $Q^{'}=Q=2\varepsilon C_{0}V$, но ёмкость уменьшилась, значит напряжение возрастёт: | | Так как заряд сохраняется (система изолирована): $Q^{'}=Q=2\varepsilon C_{0}V$, но ёмкость уменьшилась, значит напряжение возрастёт: |
| | | |
| $$V^{'}=\frac{Q}{C_{общ}^{'}}=\frac{2\varepsilon C_{0}V}{C_{0}(\varepsilon+1)}=\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}$$ | | $$V^{'}=\frac{Q}{C_{общ}^{'}}=\frac{2\varepsilon C_{0}V}{C_{0}(\varepsilon+1)}=\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}$$ |
| | | |
| Изменение разности потенциалов составит: | | Изменение разности потенциалов составит: |
| | | |
| $$\Delta V=V^{'}-V=\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}-V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}V$$ | | $$\Delta V=V^{'}-V=\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}-V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}V$$ |
| | | |
| Батарея из $n$ параллельно соединённых одинаковых конденсаторов с диэлектриком имеет изначально общую ёмкость: $C_{общ}=n\varepsilon C_{0}$. Заряд в системе: $Q=C_{общ}V=n\varepsilon C_{0}V$. | | Батарея из $n$ параллельно соединённых одинаковых конденсаторов с диэлектриком имеет изначально общую ёмкость: $C_{общ}=n\varepsilon C_{0}$. Заряд в системе: $Q=C_{общ}V=n\varepsilon C_{0}V$. |
| | | |
| После того как из одного вытечет диэлектрик общая ёмкость станет: | | После того как из одного вытечет диэлектрик общая ёмкость станет: |
| | | |
| $$C_{общ}^{'}=(n-1)\varepsilon C_{0}+C_{0}=C_{0}\left[ (n-1)\varepsilon+1 \right]$$ | | $$C_{общ}^{'}=(n-1)\varepsilon C_{0}+C_{0}=C_{0}\left[ (n-1)\varepsilon+1 \right]$$ |
| | | |
| Заряд в системе не изменится, тогда напряжение будет: | | Заряд в системе не изменится, тогда напряжение будет: |
| | | |
| $$V^{'}=\frac{Q}{C_{общ}^{'}}=\frac{n\varepsilon C_{0}V}{C_{0}\left[ (n-1)\varepsilon+1 \right]}=\frac{n\varepsilon V}{(n-1)\varepsilon+1}$$ | | $$V^{'}=\frac{Q}{C_{общ}^{'}}=\frac{n\varepsilon C_{0}V}{C_{0}\left[ (n-1)\varepsilon+1 \right]}=\frac{n\varepsilon V}{(n-1)\varepsilon+1}$$ |
| | | |
| Изменение разности потенциалов составит: | | Изменение разности потенциалов составит: |
| | | |
| $$\Delta V=V^{'}-V=\frac{n\varepsilon V}{(n-1)\varepsilon+1}-V=\frac{\varepsilon-1}{(n-1)\varepsilon+1}V$$ | | $$\Delta V=V^{'}-V=\frac{n\varepsilon V}{(n-1)\varepsilon+1}-V=\frac{\varepsilon-1}{(n-1)\varepsilon+1}V$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $\Delta V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}V$ | | $\Delta V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}V$ |
| | | |
| $\Delta V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon (n-1)+1}V$ | | $\Delta V=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon (n-1)+1}V$ |
