$3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.
Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит:
$$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$
Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать:
Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l}\right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка.
В связи с этим перепишем второй закон Ньютона:
$$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$
По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид:
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$
@@ -28,7 +28,7 @@Решение
Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет:
−
$$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)$$
+
$$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)\tag{1}$$
где частота колебаний:
$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза:
$$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$
@@ -41,6 +41,22 @@Решение
Эта величина есть константой. Возьмём производную:
Скорость груза $M$ меняется по гармоническому закону с частотой $\omega_{2}=2\omega_{1}$, а значит с такой же частотой будет колебаться груз:
+
+
$$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
#### Ответ
$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
$$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
unchanged lines 3
### Условие
### Условие
$3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.
$3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.
Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит:
Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит:
$$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$
$$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$
Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать:
Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать:
Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l}\right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка.
Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l}\right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка.
В связи с этим перепишем второй закон Ньютона:
В связи с этим перепишем второй закон Ньютона:
$$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$
$$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$
По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид:
По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид:
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$
$$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$
@@ -28,7 +28,7 @@Решение
Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет:
Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет:
$$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)$$
$$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)\tag{1}$$
где частота колебаний:
где частота колебаний:
$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$
Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза:
Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза:
$$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$
$$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$
@@ -41,6 +41,22 @@Решение
Эта величина есть константой. Возьмём производную:
Эта величина есть константой. Возьмём производную:
