Правка раздела «Решение»
ru/3.2.32.md
+17 −1
| ### Условие | |||
| $3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит: | |||
| $$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$ | |||
| Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать: | |||
| $$T\sin\alpha=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | |||
| $$T\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | |||
| Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l} \right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка. | |||
| В связи с этим перепишем второй закон Ньютона: | |||
| $$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | |||
| $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$ | |||
| По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид: | |||
| $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$ | |||
| @@ -28,7 +28,7 @@Решение | |||
| Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет: | |||
| − | $$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)$$ | ||
| + | $$x(t)=A\sin(\omega_{1}t) \tag{1}$$ | ||
| где частота колебаний: | |||
| $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | |||
| Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза: | |||
| $$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$ | |||
| @@ -41,6 +41,22 @@Решение | |||
| Эта величина есть константой. Возьмём производную: | |||
| $$0=\frac{x\cdot \frac{d x}{dt}}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}+\frac{d y}{dt}$$ | |||
| + | |||
| + | Используя $\sqrt{l^{2}+x^{2}}\approx l$, запишем: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d y}{dt}=-\frac{x}{l}\cdot \frac{d x}{dt} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы найти $\frac{d x}{dt}$ продифференцируем (1): | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d x}{dt}=A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t) \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (1) и (3) в (2): | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d y}{dt}=-\frac{A\sin(\omega_{1}t)}{l}\cdot A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t)=-\frac{2A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(\omega_{1}t)\cos(\omega_{1}t)=-\frac{A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(2\omega_{1}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Скорость груза $M$ меняется по гармоническому закону с частотой $\omega_{2}=2\omega_{1}$, а значит с такой же частотой будет колебаться груз: | ||
| + | |||
| + | $$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | |||
| $$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | |||
| ещё строк без изменений 3 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза. | $3.2.32.$ К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $l$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит: | Введём систему координат, ось $X$ направим вдоль спицы вправо, а ось $Y$ направим перпендикулярно спице. Поскольку муфта может двигаться только вдоль спицы, то нас будут интересовать лишь те силы, приложенные к муфте, которые имеют не нулевые компоненты на ось $X$. Такой силой является сила натяжения нити $\vec T$. Если муфта сместилась на малую величину влево $x$, тогда угол отклонения нити от вертикали составит: | ||
| $$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$ | $$\sin\alpha=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}$$ | ||
| Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать: | Согласно второму закону Ньютона в проекции на ось $X$ для муфты можем записать: | ||
| $$T\sin\alpha=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | $$T\sin\alpha=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | ||
| $$T\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | $$T\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | ||
| Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l} \right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка. | Смещение $x$ у нас мало по сравнению с $l$, поэтому $\sqrt{l^{2}+x^{2}}=l\sqrt{1+\left( \frac{x}{l} \right)^{2}}\approx l$ с точностью до малых второго порядка. | ||
| В связи с этим перепишем второй закон Ньютона: | В связи с этим перепишем второй закон Ньютона: | ||
| $$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | $$T\frac{x}{l}=-m\frac{d^{2} x}{dt^{2}}$$ | ||
| $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$ | $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{T}{ml}x=0$$ | ||
| По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид: | По условию задачи при колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Тогда рассматривая груз $M$, для него в положении равновесия можно записать: $T=Mg$. Уравнение движения получит вид: | ||
| $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$ | $$\frac{d^{2} x}{dt^{2}}+\frac{Mg}{ml}x=0$$ | ||
| @@ -28,7 +28,7 @@Решение | |||
| Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет: | Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Его решением при условии, что в начальный момент времени тело имело координату 0 и скорость 0, будет: | ||
| $$x(t)=A\sin(\omega_{1}t)$$ | $$x(t)=A\sin(\omega_{1}t) \tag{1}$$ | ||
| где частота колебаний: | где частота колебаний: | ||
| $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | ||
| Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза: | Обозначим $y$ - длину нити, на которой весит груз $M$, тогда общая длина нити от муфты до груза: | ||
| $$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$ | $$L=\sqrt{l^{2}+x^{2}}+y$$ | ||
| @@ -41,6 +41,22 @@Решение | |||
| Эта величина есть константой. Возьмём производную: | Эта величина есть константой. Возьмём производную: | ||
| $$0=\frac{x\cdot \frac{d x}{dt}}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}+\frac{d y}{dt}$$ | $$0=\frac{x\cdot \frac{d x}{dt}}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}+\frac{d y}{dt}$$ | ||
| Используя $\sqrt{l^{2}+x^{2}}\approx l$, запишем: | |||
| $$\frac{d y}{dt}=-\frac{x}{l}\cdot \frac{d x}{dt} \tag{2}$$ | |||
| Чтобы найти $\frac{d x}{dt}$ продифференцируем (1): | |||
| $$\frac{d x}{dt}=A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t) \tag{3}$$ | |||
| Подставим (1) и (3) в (2): | |||
| $$\frac{d y}{dt}=-\frac{A\sin(\omega_{1}t)}{l}\cdot A\omega_{1}\cos(\omega_{1}t)=-\frac{2A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(\omega_{1}t)\cos(\omega_{1}t)=-\frac{A^{2}\omega_{1}}{2l}\sin(2\omega_{1}t)$$ | |||
| Скорость груза $M$ меняется по гармоническому закону с частотой $\omega_{2}=2\omega_{1}$, а значит с такой же частотой будет колебаться груз: | |||
| $$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | $$\omega_{1}=\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | ||
| $$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | $$\omega_{2}=2\omega_{1}=2\sqrt{\frac{Mg}{ml}}$$ | ||
| ещё строк без изменений 3 | |||