Edit to “Решение”

emixter edited Apr 16, 2025, 9:03 AM

View solution History

revision #14309 parent #14308 ← older newer →

ru/13.3.6.md +6 −0

			### Условие

			$13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета.

			![К задаче $13.3.6$\|351x143, 40%](../../img/13.3.6/Figure.png)

			### Решение

			В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет:

			$$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$

			Расстояние от правого конца предмета до линзы будет:

			$$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$

			По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета:

			$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$
			$$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$

			Аналогично для $b_{2}$:

			$$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$

			Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$.

			Продольное увеличение предмета по определению:

			$$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$

			Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$:

			$$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$

			Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$:

			$$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$

			Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5):

			$$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$
		@@ -43,8 +43,14 @@Решение

			Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

		+	$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
		+	$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
		+	$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

		+	Окончательно:
		+
		+	$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

			#### Ответ

			$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

	### Условие		### Условие

	$13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета.		$13.3.6.$ Предмет в виде отрезка длины $l$ расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии $a$ от линзы. Определите продольное увеличение предмета.

	![К задаче $13.3.6$\|351x143, 40%](../../img/13.3.6/Figure.png)		![К задаче $13.3.6$\|351x143, 40%](../../img/13.3.6/Figure.png)

	### Решение		### Решение

	В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет:		В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет:

	$$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$		$$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$

	Расстояние от правого конца предмета до линзы будет:		Расстояние от правого конца предмета до линзы будет:

	$$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$		$$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$

	По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета:		По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета:

	$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$		$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$
	$$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$		$$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$

	Аналогично для $b_{2}$:		Аналогично для $b_{2}$:

	$$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$		$$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$

	Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$.		Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$.

	Продольное увеличение предмета по определению:		Продольное увеличение предмета по определению:

	$$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$		$$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$

	Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$:		Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$:

	$$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$		$$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$

	Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$:		Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$:

	$$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$		$$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$

	Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5):		Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5):

	$$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$		$$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$
	@@ -43,8 +43,14 @@Решение

	Приводим к общему знаменателю и упрощаем:		Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

			$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
			$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
			$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

			Окончательно:

			$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$		$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$