Решение

В проводящей среде возникает ток проводимости, поскольку при наличии электрического поля $\vec E$ в веществе с удельной проводимостью $\lambda$ появляется плотность тока:

$$\vec j=\lambda\vec E \tag{1}$$

Энергия, выделяющаяся в виде тепла, в единицу времени (мощность Джоуля-Ленца) равна:

$$N=\int_{V}\vec j\cdot \vec E dV \tag{2}$$

Подставим (1) в (2):

$$N=\int_{V}\lambda E^{2} dV \tag{3}$$

Напряжённость электрического поля в сферическом конденсаторе между сферами радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$:

$$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r^{2}} \tag{4}$$

Поскольку напряжение поддерживается постоянным, то и заряд на конденсаторе тоже постоянен и равен:

$$Q=CU \tag{5}$$

В сферически симметричной системе элемент объёма:

$$dV=4\pi r^{2}dr \tag{6}$$

Подставим выражения (4)-(6) в (3):

$$N=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\lambda \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{CU}{r^{2}} \right)^{2} 4\pi r^{2}dr$$
$$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{dr}{r^{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_{1}}^{R_{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$
$$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\cdot \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}} \tag{7}$$

Ёмкость сферического конденсатора:

$$C=4\pi\varepsilon_{0}\cdot \frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}$$

В связи с этим выражение (7) можно переписать:

$$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{\varepsilon_{0}C}$$

Окончательно:

$$N=\frac{\lambda CU^{2}}{\varepsilon_{0}}$$