Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/8.3.45.md
+43 −3
| @@ -1,11 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $8.3.45.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $8.3.45.$ В сферическом конденсаторе емкости $C$ поддерживается постоянное напряжение $U$. Определите количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на конденсаторе, если удельная проводимость среды, заполняющей конденсатор, $\lambda$, а ее диэлектрическая проницаемость $\varepsilon\approx 1$. | ||
| ### Решение | |||
| − | fdgd | ||
| + | В проводящей среде возникает ток проводимости, поскольку при наличии электрического поля $\vec E$ в веществе с удельной проводимостью $\lambda$ появляется плотность тока: | ||
| + | $$\vec j=\lambda\vec E \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Энергия, выделяющаяся в виде тепла, в единицу времени (мощность Джоуля-Ленца) равна: | ||
| + | |||
| + | $$N=\int_{V}\vec j\cdot \vec E dV \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (1) в (2): | ||
| + | |||
| + | $$N=\int_{V}\lambda E^{2} dV \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Напряжённость электрического поля в сферическом конденсаторе между сферами радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$: | ||
| + | |||
| + | $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r^{2}} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку напряжение поддерживается постоянным, то и заряд на конденсаторе тоже постоянен и равен: | ||
| + | |||
| + | $$Q=CU \tag{5}$$ | ||
| + | |||
| + | В сферически симметричной системе элемент объёма: | ||
| + | |||
| + | $$dV=4\pi r^{2}dr \tag{6}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим выражения (4)-(6) в (3): | ||
| + | |||
| + | $$N=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\lambda \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{CU}{r^{2}} \right)^{2} 4\pi r^{2}dr$$ | ||
| + | $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{dr}{r^{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_{1}}^{R_{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$ | ||
| + | $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\cdot \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}} \tag{7}$$ | ||
| + | |||
| + | Ёмкость сферического конденсатора: | ||
| + | |||
| + | $$C=4\pi\varepsilon_{0}\cdot \frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}$$ | ||
| + | |||
| + | В связи с этим выражение (7) можно переписать: | ||
| + | |||
| + | $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{\varepsilon_{0}C}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно: | ||
| + | |||
| + | $$N=\frac{\lambda CU^{2}}{\varepsilon_{0}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$N=\frac{\lambda CU^{2}}{\varepsilon_{0}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $8.3.45.$ [Вставьте условие задачи] | $8.3.45.$ В сферическом конденсаторе емкости $C$ поддерживается постоянное напряжение $U$. Определите количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на конденсаторе, если удельная проводимость среды, заполняющей конденсатор, $\lambda$, а ее диэлектрическая проницаемость $\varepsilon\approx 1$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| fdgd | В проводящей среде возникает ток проводимости, поскольку при наличии электрического поля $\vec E$ в веществе с удельной проводимостью $\lambda$ появляется плотность тока: | ||
| $$\vec j=\lambda\vec E \tag{1}$$ | |||
| Энергия, выделяющаяся в виде тепла, в единицу времени (мощность Джоуля-Ленца) равна: | |||
| $$N=\int_{V}\vec j\cdot \vec E dV \tag{2}$$ | |||
| Подставим (1) в (2): | |||
| $$N=\int_{V}\lambda E^{2} dV \tag{3}$$ | |||
| Напряжённость электрического поля в сферическом конденсаторе между сферами радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$: | |||
| $$E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r^{2}} \tag{4}$$ | |||
| Поскольку напряжение поддерживается постоянным, то и заряд на конденсаторе тоже постоянен и равен: | |||
| $$Q=CU \tag{5}$$ | |||
| В сферически симметричной системе элемент объёма: | |||
| $$dV=4\pi r^{2}dr \tag{6}$$ | |||
| Подставим выражения (4)-(6) в (3): | |||
| $$N=\int_{R_{1}}^{R_{2}}\lambda \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{CU}{r^{2}} \right)^{2} 4\pi r^{2}dr$$ | |||
| $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{dr}{r^{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_{1}}^{R_{2}}=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\left( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right)$$ | |||
| $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}^{2}}\cdot \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}} \tag{7}$$ | |||
| Ёмкость сферического конденсатора: | |||
| $$C=4\pi\varepsilon_{0}\cdot \frac{R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}$$ | |||
| В связи с этим выражение (7) можно переписать: | |||
| $$N=\frac{\lambda C^{2}U^{2}}{\varepsilon_{0}C}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$N=\frac{\lambda CU^{2}}{\varepsilon_{0}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$N=\frac{\lambda CU^{2}}{\varepsilon_{0}}$$ | ||