Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14321 parent #14320 ← older newer →
ru/5.6.27.md +39 −3
@@ -1,11 +1,47 @@
### Условие
−$5.6.27.$ [Вставьте условие задачи]
+$5.6.27.$ Цилиндр $ABCD$, закрытый сверху и открытый снизу, прикреплен к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра $KBCM$ находится 1 моль гелия, отделенный от воды поршнем $(BK = 2h)$. Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние $h$, $AK\gt h$? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды $\rho$, сечение цилиндра $S$.
+![К задаче $5.6.27$|187x257, 25%](../../img/5.6.27/5.6.27.png)
+
### Решение
−прн
+По условию задачи мы пренебрегаем массой поршня - это означает, что мы пренебрегаем изменением потенциальной энергией поршня; пренебрегаем трением - это означает, что при перемещении поршня не надо затрачивать работу на преодоление сил трения; пренебрегаем теплопроводностью поршня - это означает, что потери тепла через поршень отсутствуют. Бассейн широкий - это означает, что уровень воды в бассейне всегда находится на одном уровне во время выталкивания воды из цилиндра. В задаче не задано давление над поверхностью воды в бассейне, поэтому будем считать, что оно отсутствует.
+Запишем первое начало термодинамики:
+
+$$Q=\Delta U+A \tag{1}$$
+
+Изменение внутренней энергии определяется разностью температур начального и конечного состояния. Гелий одноатомный газ и для 1 моля газа изменение внутренней энергии определится формулой:
+
+$$\Delta U=\frac{3}{2}R(T_{к}-T_{н}) \tag{2}$$
+
+В первоначальном состоянии объём газа в цилиндре составлял: $V_{н}=2hS$. Давление газа равно гидростатическому давлению воды: $P_{н}=2\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа:
+
+$$P_{н}V_{н}=RT_{н}$$
+$$2\rho gh\cdot 2hS=RT_{н} \Longrightarrow T_{н}=\frac{4\rho gSh^{2}}{R} \tag{3}$$
+
+В конечном состоянии объём газа в цилиндре будет: $V_{к}=3hS$. Давление газа будет равно гидростатическому давлению воды: $P_{к}=3\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа:
+
+$$P_{к}V_{к}=RT_{к}$$
+$$3\rho gh\cdot 3hS=RT_{к} \Longrightarrow T_{к}=\frac{9\rho gSh^{2}}{R} \tag{4}$$
+
+Подставим (3) и (4) в (2):
+
+$$\Delta U=\frac{3}{2}R(\frac{9\rho gSh^{2}}{R}-\frac{4\rho gSh^{2}}{R})=\frac{15}{2}\rho gSh^{2} \tag{5}$$
+
+Работа газа против силы гидростатического давления при увеличении объёма газа от $V_{н}$ до $V_{к}$:
+
+$$A=\int_{V_{н}}^{V_{к}}PdV$$
+
+Давление газа уравновешивается гидростатическим давлением воды. Если $x$ - высота столба жидкости над уровнем поршня, то давление газа будет: $P=\rho gx$. Изменение объёма газа при перемещении поршня на малое расстояние $dx$ будет: $dV=Sdx$. Вычислим работу:
+
+$$A=\int_{2h}^{3h}\rho gSxdx=\frac{\rho gS}{2}\left[ x^{2} \right]_{2h}^{3h}=\frac{\rho gS}{2}\left( 9h^{2}-4h^{2} \right)=\frac{5}{2}\rho gSh^{2} \tag{6}$$
+
+Подставим (5) и (6) в (1):
+
+$$Q=\frac{15}{2}\rho gSh^{2}+\frac{5}{2}\rho gSh^{2}=10\rho gSh^{2}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$Q=10\rho gSh^{2}$