| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $5.6.27.$ Цилиндр $ABCD$, закрытый сверху и открытый снизу, прикреплен к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра $KBCM$ находится 1 моль гелия, отделенный от воды поршнем $(BK = 2h)$. Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние $h$, $AK\gt h$? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды $\rho$, сечение цилиндра $S$. |
| $5.6.27.$ Цилиндр $ABCD$, закрытый сверху и открытый снизу, прикреплен к стенке бассейна, заполненного водой. В верхней части цилиндра $KBCM$ находится 1 моль гелия, отделенный от воды поршнем $(BK = 2h)$. Гелий нагревают, пропуская ток по спирали. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы поршень опустился на расстояние $h$, $AK\gt h$? Массой поршня, трением и теплопроводностью пренебречь. Бассейн широкий. Плотность воды $\rho$, сечение цилиндра $S$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| По условию задачи мы пренебрегаем массой поршня - это означает, что мы пренебрегаем изменением потенциальной энергией поршня; пренебрегаем трением - это означает, что при перемещении поршня не надо затрачивать работу на преодоление сил трения; пренебрегаем теплопроводностью поршня - это означает, что потери тепла через поршень отсутствуют. Бассейн широкий - это означает, что уровень воды в бассейне всегда находится на одном уровне во время выталкивания воды из цилиндра. В задаче не задано давление над поверхностью воды в бассейне, поэтому будем считать, что оно отсутствует. | | По условию задачи мы пренебрегаем массой поршня - это означает, что мы пренебрегаем изменением потенциальной энергией поршня; пренебрегаем трением - это означает, что при перемещении поршня не надо затрачивать работу на преодоление сил трения; пренебрегаем теплопроводностью поршня - это означает, что потери тепла через поршень отсутствуют. Бассейн широкий - это означает, что уровень воды в бассейне всегда находится на одном уровне во время выталкивания воды из цилиндра. В задаче не задано давление над поверхностью воды в бассейне, поэтому будем считать, что оно отсутствует. |
| | | |
| Запишем первое начало термодинамики: | | Запишем первое начало термодинамики: |
| | | |
| $$Q=\Delta U+A \tag{1}$$ | | $$Q=\Delta U+A \tag{1}$$ |
| | | |
| Изменение внутренней энергии определяется разностью температур начального и конечного состояния. Гелий одноатомный газ и для 1 моля газа изменение внутренней энергии определится формулой: | | Изменение внутренней энергии определяется разностью температур начального и конечного состояния. Гелий одноатомный газ и для 1 моля газа изменение внутренней энергии определится формулой: |
| | | |
| $$\Delta U=\frac{3}{2}R(T_{к}-T_{н}) \tag{2}$$ | | $$\Delta U=\frac{3}{2}R(T_{к}-T_{н}) \tag{2}$$ |
| | | |
| В первоначальном состоянии объём газа в цилиндре составлял: $V_{н}=2hS$. Давление газа равно гидростатическому давлению воды: $P_{н}=2\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа: | | В первоначальном состоянии объём газа в цилиндре составлял: $V_{н}=2hS$. Давление газа равно гидростатическому давлению воды: $P_{н}=2\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа: |
| | | |
| $$P_{н}V_{н}=RT_{н}$$ | | $$P_{н}V_{н}=RT_{н}$$ |
| $$2\rho gh\cdot 2hS=RT_{н} \Longrightarrow T_{н}=\frac{4\rho gSh^{2}}{R} \tag{3}$$ | | $$2\rho gh\cdot 2hS=RT_{н} \Longrightarrow T_{н}=\frac{4\rho gSh^{2}}{R} \tag{3}$$ |
| | | |
| В конечном состоянии объём газа в цилиндре будет: $V_{к}=3hS$. Давление газа будет равно гидростатическому давлению воды: $P_{к}=3\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа: | | В конечном состоянии объём газа в цилиндре будет: $V_{к}=3hS$. Давление газа будет равно гидростатическому давлению воды: $P_{к}=3\rho gh$. Согласно уравнению Менделеева-Клайперона для 1 моля газа: |
| | | |
| $$P_{к}V_{к}=RT_{к}$$ | | $$P_{к}V_{к}=RT_{к}$$ |
| $$3\rho gh\cdot 3hS=RT_{к} \Longrightarrow T_{к}=\frac{9\rho gSh^{2}}{R} \tag{4}$$ | | $$3\rho gh\cdot 3hS=RT_{к} \Longrightarrow T_{к}=\frac{9\rho gSh^{2}}{R} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим (3) и (4) в (2): | | Подставим (3) и (4) в (2): |
| | | |
| $$\Delta U=\frac{3}{2}R(\frac{9\rho gSh^{2}}{R}-\frac{4\rho gSh^{2}}{R})=\frac{15}{2}\rho gSh^{2} \tag{5}$$ | | $$\Delta U=\frac{3}{2}R(\frac{9\rho gSh^{2}}{R}-\frac{4\rho gSh^{2}}{R})=\frac{15}{2}\rho gSh^{2} \tag{5}$$ |
| | | |
| Работа газа против силы гидростатического давления при увеличении объёма газа от $V_{н}$ до $V_{к}$: | | Работа газа против силы гидростатического давления при увеличении объёма газа от $V_{н}$ до $V_{к}$: |
| | | |
| $$A=\int_{V_{н}}^{V_{к}}PdV$$ | | $$A=\int_{V_{н}}^{V_{к}}PdV$$ |
| | | |
| Давление газа уравновешивается гидростатическим давлением воды. Если $x$ - высота столба жидкости над уровнем поршня, то давление газа будет: $P=\rho gx$. Изменение объёма газа при перемещении поршня на малое расстояние $dx$ будет: $dV=Sdx$. Вычислим работу: | | Давление газа уравновешивается гидростатическим давлением воды. Если $x$ - высота столба жидкости над уровнем поршня, то давление газа будет: $P=\rho gx$. Изменение объёма газа при перемещении поршня на малое расстояние $dx$ будет: $dV=Sdx$. Вычислим работу: |
| | | |
| $$A=\int_{2h}^{3h}\rho gSxdx=\frac{\rho gS}{2}\left[ x^{2} \right]_{2h}^{3h}=\frac{\rho gS}{2}\left( 9h^{2}-4h^{2} \right)=\frac{5}{2}\rho gSh^{2} \tag{6}$$ | | $$A=\int_{2h}^{3h}\rho gSxdx=\frac{\rho gS}{2}\left[ x^{2} \right]_{2h}^{3h}=\frac{\rho gS}{2}\left( 9h^{2}-4h^{2} \right)=\frac{5}{2}\rho gSh^{2} \tag{6}$$ |
| | | |
| Подставим (5) и (6) в (1): | | Подставим (5) и (6) в (1): |
| | | |
| $$Q=\frac{15}{2}\rho gSh^{2}+\frac{5}{2}\rho gSh^{2}=10\rho gSh^{2}$$ | | $$Q=\frac{15}{2}\rho gSh^{2}+\frac{5}{2}\rho gSh^{2}=10\rho gSh^{2}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $Q=10\rho gSh^{2}$ | | $Q=10\rho gSh^{2}$ |
