Решение

Взаимная индуктивность $L_{12}$ между двумя катушками определяется так:

$$L_{12}=\frac{\Phi_{21}}{I_{1}}\cdot N_{2}$$

где $\Phi_{21}$ - магнитный поток, создаваемый током $I_{1}$ в первой катушке, пронизывающий вторую катушку; $N_{2}$ - число витков второй катушки.

Аналогично:

$$L_{12}=\frac{\Phi_{12}}{I_{2}}\cdot N_{1}$$

Собственная индуктивность первой катушки определяется так:

$$L_{1}=\frac{\Phi_{1}N_{1}}{I_{1}}$$

Собственная индуктивность второй катушки:

$$L_{2}=\frac{\Phi_{2}N_{2}}{I_{2}}$$

Если рассеянием магнитного поля можно пренебречь, то весь магнитный поток одной катушки сцеплен со второй (полная связь), это означает, что:

$$\Phi_{21}=\Phi_{1} \text{ и } \Phi_{12}=\Phi_{2}$$

Тогда:

$$L_{12}=\frac{N_{2}\Phi_{1}}{I_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}\cdot L_{1} \tag{1}$$

Аналогично:

$$L_{12}=\frac{N_{1}\Phi_{2}}{I_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}\cdot L_{2} \tag{2}$$

Перемножим (1) и (2):

$$L_{12}^2=\frac{N_{2}}{N_{1}}\frac{N_{1}}{N_{2}}\cdot L_{1} L_{2}=L_{1} L_{2}$$

$$L_{12}=\sqrt{L_{1}L_{2}}$$