Решение

Чтобы расстояние между двумя электронами оставалось неизменным, они должны двигаться по окружностям радиуса $R$, причем по противоположным дугам окружности одного и того же круга — тогда расстояние между ними всегда будет $2R$.

На электрон действуют две силы: сила Лоренца и сила Кулона. Данные силы противоположно направлены вдоль прямой соединяющей электрон и центр окружности, по которой вращаются электроны.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на линию соединяющую электроны:

$$F_{Л}-F_{К}=m_{e}a$$

Сила Лоренца:

$$F_{Л}=e\upsilon B$$

Cила Кулона между электронами:

$$F_{К}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(2R)^{2}}=\frac{e^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}R^{2}}$$

Центростремительное ускорение:

$$a=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$

Подставим все выражения во второй закон Ньютона:

$$e\upsilon B - \frac{e^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}R^{2}} = m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}$$

Отсюда сразу выразим индукцию магнитного поля:

$$B=\frac{m_{e}\upsilon}{eR}+\frac{e}{16\pi \varepsilon_{0}\upsilon R^{2}}$$