Решение

Разделим эллипс на маленькие треугоники, один из катетов которого это радиус-вектор, другой путь мпутника за малый промежуток времени. в таких масштабах путь будет прямой:
$$dS=\frac{rx}{2}$$

$$x=vsin\alpha dt$$
Где угол $\alpha$ это угол между вектором скорости и радиус-вектором.
$$\frac{dS}{dt}=\frac{vrsin\alpha}{2}$$
Известно, что при нулевом моменте сил, момент импульса постоянен:
$$L=mvrsin\alpha=const$$
Следовательно:
$$\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=const$$
Геометрия эллипса, расписанная через апогей и перигей:
$$2a=r_a+r_p$$

$$b^2=r_ar_p$$
Момент импульса в апогее:
$$L=mur_a$$
Энергия в апогее, которая равна энегрии при движении по эллипсу:
$$\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{r_a}=-\frac{\gamma Mm}{2a}$$

$$\frac{u^2}{2}=\frac{\gamma M(2a-r_a)}{2ar_a}$$

$$u^2r_a=\frac{\gamma Mr_p}{a}$$

$$u^2r_a^2=\frac{\gamma Mr_ar_p}{a}=\frac{\gamma Mb^2}{a}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}}$$
Т.к. скорость покрытия площади постоянна, средняя скорсть покрытия тоже равна ей:
$$\frac{S}{T}=\frac{dS}{dt}$$

$$\frac{\pi ab}{T}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}}$$