Edit to “Условие”

Ismail edited May 9, 2025, 4:52 PM

View solution History

revision #14417 parent #14416 ← older

ru/2.6.46.md +1 −4

		@@ -1,9 +1,6 @@
			### Условие

		−	$2.6.46.$ Спутник движется вокруг планеты массы $M$ по эллипсу
		−	с большой и малой полуосями $a$ и $b$.
		−	Определите площадь, которую радиус-вектор, проведенный из центра планеты к спутнику, «заметает» в
		−	единицу времени. Найдите период обращения спутника.
		+	$2.6.46.$ Спутник движется вокруг планеты массы $M$ по эллипсу с большой и малой полуосями $a$ и $b$. Определите площадь, которую радиус-вектор, проведенный из центра планеты к спутнику, «заметает» в единицу времени. Найдите период обращения спутника.
			![К задаче $2.6.46$\|267x226, 30%](../../img/2.6.46/2.6.46.PNG)

			### Решение
			Разделим эллипс на маленькие треугоники, один из катетов которого это радиус-вектор, другой путь мпутника за малый промежуток времени. в таких масштабах путь будет прямой:
			$$
			dS=\frac{rx}{2}
			$$

			$$
			x=vsin\alpha dt
			$$
			Где угол $\alpha$ это угол между вектором скорости и радиус-вектором.
			$$
			\frac{dS}{dt}=\frac{vrsin\alpha}{2}
			$$
			Известно, что при нулевом моменте сил, момент импульса постоянен:
			$$
			L=mvrsin\alpha=const
			$$
			Следовательно:
			$$
			\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=const
			$$
			Геометрия эллипса, расписанная через апогей и перигей:
			$$
			2a=r_a+r_p
			$$

			$$
			b^2=r_ar_p
			$$
			Момент импульса в апогее:
			$$
			L=mur_a
			$$
			Энергия в апогее, которая равна энегрии при движении по эллипсу:
			$$
			\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{r_a}=-\frac{\gamma Mm}{2a}
			$$

			$$
			\frac{u^2}{2}=\frac{\gamma M(2a-r_a)}{2ar_a}
			$$

			$$
			u^2r_a=\frac{\gamma Mr_p}{a}
			$$

			$$
			u^2r_a^2=\frac{\gamma Mr_ar_p}{a}=\frac{\gamma Mb^2}{a}
			$$
			Получаем ответ:
			$$
			\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}}
			$$
			Т.к. скорость покрытия площади постоянна, средняя скорсть покрытия тоже равна ей:
			$$
			\frac{S}{T}=\frac{dS}{dt}
			$$

			$$
			\frac{\pi ab}{T}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
			$$
			Получаем ответ:
			$$
			\boxed{T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}}
			$$

			#### Ответ
			$$
			\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
			$$

			$$
			T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}
			$$
		unchanged lines 73

	@@ -1,9 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$2.6.46.$ Спутник движется вокруг планеты массы $M$ по эллипсу		$2.6.46.$ Спутник движется вокруг планеты массы $M$ по эллипсу с большой и малой полуосями $a$ и $b$. Определите площадь, которую радиус-вектор, проведенный из центра планеты к спутнику, «заметает» в единицу времени. Найдите период обращения спутника.
	с большой и малой полуосями $a$ и $b$.
	Определите площадь, которую радиус-вектор, проведенный из центра планеты к спутнику, «заметает» в
	единицу времени. Найдите период обращения спутника.
	![К задаче $2.6.46$\|267x226, 30%](../../img/2.6.46/2.6.46.PNG)		![К задаче $2.6.46$\|267x226, 30%](../../img/2.6.46/2.6.46.PNG)

	### Решение		### Решение
	Разделим эллипс на маленькие треугоники, один из катетов которого это радиус-вектор, другой путь мпутника за малый промежуток времени. в таких масштабах путь будет прямой:		Разделим эллипс на маленькие треугоники, один из катетов которого это радиус-вектор, другой путь мпутника за малый промежуток времени. в таких масштабах путь будет прямой:
	$$		$$
	dS=\frac{rx}{2}		dS=\frac{rx}{2}
	$$		$$

	$$		$$
	x=vsin\alpha dt		x=vsin\alpha dt
	$$		$$
	Где угол $\alpha$ это угол между вектором скорости и радиус-вектором.		Где угол $\alpha$ это угол между вектором скорости и радиус-вектором.
	$$		$$
	\frac{dS}{dt}=\frac{vrsin\alpha}{2}		\frac{dS}{dt}=\frac{vrsin\alpha}{2}
	$$		$$
	Известно, что при нулевом моменте сил, момент импульса постоянен:		Известно, что при нулевом моменте сил, момент импульса постоянен:
	$$		$$
	L=mvrsin\alpha=const		L=mvrsin\alpha=const
	$$		$$
	Следовательно:		Следовательно:
	$$		$$
	\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=const		\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=const
	$$		$$
	Геометрия эллипса, расписанная через апогей и перигей:		Геометрия эллипса, расписанная через апогей и перигей:
	$$		$$
	2a=r_a+r_p		2a=r_a+r_p
	$$		$$

	$$		$$
	b^2=r_ar_p		b^2=r_ar_p
	$$		$$
	Момент импульса в апогее:		Момент импульса в апогее:
	$$		$$
	L=mur_a		L=mur_a
	$$		$$
	Энергия в апогее, которая равна энегрии при движении по эллипсу:		Энергия в апогее, которая равна энегрии при движении по эллипсу:
	$$		$$
	\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{r_a}=-\frac{\gamma Mm}{2a}		\frac{mu^2}{2}-\frac{\gamma Mm}{r_a}=-\frac{\gamma Mm}{2a}
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{u^2}{2}=\frac{\gamma M(2a-r_a)}{2ar_a}		\frac{u^2}{2}=\frac{\gamma M(2a-r_a)}{2ar_a}
	$$		$$

	$$		$$
	u^2r_a=\frac{\gamma Mr_p}{a}		u^2r_a=\frac{\gamma Mr_p}{a}
	$$		$$

	$$		$$
	u^2r_a^2=\frac{\gamma Mr_ar_p}{a}=\frac{\gamma Mb^2}{a}		u^2r_a^2=\frac{\gamma Mr_ar_p}{a}=\frac{\gamma Mb^2}{a}
	$$		$$
	Получаем ответ:		Получаем ответ:
	$$		$$
	\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}}		\boxed{\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}}
	$$		$$
	Т.к. скорость покрытия площади постоянна, средняя скорсть покрытия тоже равна ей:		Т.к. скорость покрытия площади постоянна, средняя скорсть покрытия тоже равна ей:
	$$		$$
	\frac{S}{T}=\frac{dS}{dt}		\frac{S}{T}=\frac{dS}{dt}
	$$		$$

	$$		$$
	\frac{\pi ab}{T}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}		\frac{\pi ab}{T}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
	$$		$$
	Получаем ответ:		Получаем ответ:
	$$		$$
	\boxed{T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}}		\boxed{T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}		\frac{dS}{dt}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{\gamma M}{a}}
	$$		$$

	$$		$$
	T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}		T=2\pi\frac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\gamma M}}
	$$		$$
	unchanged lines 73